Тема 7. Элементы теории корреляции
Литература
Забейворота В.И., Волохова К.И. Математика в экономике (Элементы математической статистики). Учебное пособие (параграф 13). УрСЭИ, Челябинск, 2001
3Пример 12. По данным наблюдений значений Х (площадь квартиры, м2) и У (цена квартиры, тыс. руб.) для однокомнатных и двухкомнатных квартир получена следующая таблица
Х |
У |
Х |
У |
Х |
У |
Х |
У |
Х |
У |
22,5 |
71,0 |
16,0 |
41,0 |
37,0 |
112,0 |
21,3 |
65,2 |
36,7 |
108,4 |
15,1 |
40,5 |
43,0 |
121,0 |
36,0 |
124,0 |
20,5 |
58,5 |
40,0 |
105,0 |
37,0 |
116,0 |
37,7 |
117,0 |
38,7 |
130,7 |
42,7 |
130,0 |
20,7 |
57,0 |
20,0 |
65,5 |
44,0 |
132,0 |
32,0 |
106,2 |
20,5 |
73,0 |
37,0 |
112,0 |
39,5 |
85,0 |
35,0 |
114,0 |
21,4 |
62,7 |
43,0 |
136,0 |
28,0 |
85,0 |
42,4 |
137,0 |
22,3 |
64,5 |
23,0 |
70,8 |
38,5 |
135,0 |
22,3 |
65,1 |
35,2 |
97,0 |
31,0 |
102,0 |
29,4 |
89,5 |
34,2 |
106,4 |
29,7 |
97,3 |
33,5 |
102,0 |
27,3 |
66,0 |
41,5 |
108,0 |
27,4 |
83,1 |
25,0 |
77,0 |
27,5 |
65,0 |
36,5 |
113,0 |
19,5 |
51,0 |
22,0 |
65,0 |
26,5 |
90,0 |
30,0 |
94,0 |
19,2 |
50,0 |
34,0 |
92,0 |
17,3 |
55,0 |
23,0 |
69,1 |
44,6 |
139,0 |
38,3 |
117,0 |
42,5 |
123,0 |
30,2 |
90,0 |
24,3 |
78,0 |
34,0 |
105,0 |
42,5 |
112,0 |
35,2 |
130,0 |
26,8 |
93,4 |
26,0 |
96,1 |
43,0 |
134,0 |
18,0 |
53,0 |
38,2 |
115,0 |
25,5 |
83,4 |
26,5 |
99,0 |
38,3 |
118,0 |
44,5 |
140,0 |
32,5 |
105,0 |
26,9 |
97,0 |
25,1 |
81,4 |
29,3 |
87,0 |
38,4 |
119,0 |
35,0 |
110,0 |
21,4 |
80,5 |
44,0 |
135,0 |
31,0 |
99,0 |
28,4 |
85,0 |
29,5 |
90,0 |
26,4 |
90,0 |
40,0 |
115,0 |
25,1 |
70,0 |
25,0 |
78,2 |
32,0 |
96,0 |
25,1 |
81,5 |
23,4 |
70,0 |
22,3 |
68,2 |
27,4 |
85,0 |
27,3 |
85,1 |
26,5 |
95,0 |
26,0 |
78,8 |
31,5 |
94,7 |
21,5 |
63,0 |
30,0 |
94,0 |
42,0 |
110,0 |
30,5 |
92,7 |
26,5 |
79,9 |
25,0 |
77,2 |
21,5 |
64,2 |
34,0 |
103,0 |
23,5 |
79,0 |
Найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные уравнения прямых регрессии.
Решение.
Разобьем
интервал значений Y
на пять промежутков длины
1=20
(т.к. ymin=40,
ymax=140,
то
),
а интервал значений X на пять промежутков
длины
2=6
(т.к.. xmin=15,
xmax=45,
то
).
Сгруппировав данные, получим корреляционную
таблицу 1.
Таблица 1
X |
Y |
nx |
|||||
40-60 |
60-80 |
80-100 |
100-120 |
120-140 |
|||
15-21 |
8 |
2 |
|
|
|
10 |
|
21-27 |
|
20 |
12 |
|
|
32 |
|
27-33 |
|
2 |
15 |
3 |
|
20 |
|
33-39 |
|
|
2 |
16 |
4 |
22 |
|
39-45 |
|
|
1 |
5 |
10 |
16 |
|
ny |
8 |
24 |
30 |
24 |
14 |
100 |
|
Заменим интервалы их серединами и получим таблицу 2.
Таблица 2
X |
Y |
nx |
|||||
50 |
70 |
90 |
110 |
130 |
|||
18 |
8 |
2 |
|
|
|
10 |
|
24 |
|
20 |
12 |
|
|
32 |
|
30 |
|
2 |
15 |
3 |
|
20 |
|
36 |
|
|
2 |
16 |
4 |
22 |
|
42 |
|
|
1 |
5 |
10 |
16 |
|
ny |
8 |
24 |
30 |
24 |
14 |
100 |
|
Для упрощения вычислений перейдем к условным вариантам:
Исходя из этих формул, составим корреляционную таблицу 3.
Таблица 3.
n |
u |
|||||
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
nn |
|
-2 |
8 |
2 |
|
|
|
10 |
-1 |
|
20 |
12 |
|
|
32 |
0 |
|
2 |
15 |
3 |
|
20 |
1 |
|
|
2 |
16 |
4 |
22 |
2 |
|
|
1 |
5 |
10 |
16 |
nu |
8 |
24 |
30 |
24 |
14 |
100 |
Найдем
.
.
.
.
Следовательно,
Выборочный коэффициент корреляции
Чтобы
найти
,
составим таблицу 4. Для этого
найдем произведение (ui×vj), пар вариант u и v, поместим их в верхние правые углы клеток, содержащих соответствующие частоты;
перемножим числа nuv и uv каждой клетки и просуммируем по строкам и столбцам, записывая результаты в клетки дополнительных столбца и строки ;
для нахождения суммы складываем соответственно полученные результаты в клетках дополнительных столбца и строки (контролем является равенство полученных сумм).
Таблица 4.
v |
u |
|
||||||||||
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
|
|||||||
-2 |
|
8 |
|
4 |
|
|
|
72 |
||||
8 |
2 |
|||||||||||
-1 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
40 |
||||
20 |
12 |
|||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|||
2 |
15 |
3 |
||||||||||
1 |
|
|
|
0 |
|
2 |
|
4 |
48 |
|||
2 |
16 |
4 |
||||||||||
2 |
|
|
|
0 |
|
4 |
|
8 |
100 |
|||
1 |
5 |
10 |
||||||||||
|
64 |
48 |
0 |
52 |
96 |
260 |
||||||
Следовательно, =260
Итак,
Найдем выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х
и выборочное уравнение прямой линии регрессии Х на У
Т.к.
;
то
.
Вопросы для самопроверки.
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Независимость и коррелированность случайных величин.
Линейная корреляция. Уравнения прямых регрессии.
Выборочный коэффициент корреляции.