Возможные перемещения

Возможными (виртуальными) перемещениями несвободной механической системы называются воображаемые, бесконечно малые перемещения точек системы, допускаемые наложенными на систему связями.

Возможные перемещения – это величины первого порядка малости, величинами высших порядков малости пренебрегаем, поэтому криволинейные перемещения точек заменяются прямолинейными отрезками, откладываемыми в направлении касательной к траектории каждой точки.

Возможные перемещения обозначаются символом «δ». Например, δφ, δS (рисунок 2.1), для точки A:

δS_A = AA’ = OAδφ.

Рисунок 2.1

Все силы, действующие на точки несвободной механической системы, могут быть разделены на задаваемые силы и реакции связей. Задаваемые силы выражают действие на механическую систему тел, не входящих в данную систему. Реакции связей выражают действие связей, ограничивающих движениесистемы (рисунок 2.2).

Если сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называют идеальными, т.е.

∑R_i ⋅ δS_i ⋅ cosα_i= 0.

Рисунок 2.2

На рисунке 2.2 при перемещении тела на величину δS(возможное перемещение) работа реакции для гладкой поверхности связи:

δA=N⋅ δS⋅ cos90^o =0

т.е. эта связь идеальна. В случае шероховатой поверхности появляется сила трения и полная реакция такой поверхности будет

R = N + F_ТР

Работа этих двух сил уже не равна нулю.

δA = F_ТР⋅ δS⋅ cos180^o.

Чтобы выведенные в механике принципы можно было применять в реальных задачах, нужно неидеальные связи искусственно сделать идеальными, отнеся силы трения к разряду задаваемых сил.

Принцип возможных перемещений

В случае равновесия механической системы, силы, действующие на каждую точку механической системы, уравновешиваются.

Обозначая F_i — результирующую активных сил, действующих на точку, R_i — реакцию связи, получим:

F_i + R_i =0

Зададим системе возможное перемещение и вычислим элементарную работу всех приложенных к точке сил:

δA = F_i × δS_i + R_i × δS_i = = F_i δS_i cosα_i + R_i δS_i cos(180 — α_i)=0.

Для всей системы из «n» точек:

ΣF_i × δS_i+ ΣR_i × δS_i =0.

Для систем с идеальными связями (ΣR_i × δS_i=0), получаем

ΣF_i × δS_i=0

или

ΣF_i δS_i cosα_i=0.  (5)

Формула (5) выражает принцип возможных перемещений, который может быть сформулирован так: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нолю.

Обратными рассуждениями доказывается достаточность этого принципа.

Принцип возможных перемещений позволяет задачи статикирешать методами динамики.

Свободные колебания материальной системы с одной степенью свободы

Свободные колебания (собственные колебания) - колебания в любой колебательной системе, происходящие в отсутствие внешнего воздействия.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы:

 , где a>0; b  0; c>0.

а - обобщенный коэффициент инерции; b - обобщенный коэффициент сопротивления; с - обобщенный коэффициент жесткости.

В случае если система консервативная, т.е. b=0, дифференциальное уравнение движения принимает форму:

 , где  - круговая или циклическая частота.

Запишем дифференциальное уравнение в виде:

 .

C₁ и C₂ - произвольные постоянные, которые мы определим из начальных условий: при t=0 q=q₀,  .

Отсюда C₁=q₀;  .

Введем новые произвольные постоянные:

 ; 

и представим решение дифференциального уравнения в амплитудной форме:

 .

Амплитуда (А) - наибольшее отклонение какой либо точки тела, совершающего колебания, от положения равновесия.

Произвольные постоянные А и α выражаются через начальные условия следующим образом:

 ;  .

Зависимость q(t) представлена на рисунке.