Полагая, что активные силы для машины являются внутренними, имеем |
||||||||
e |
x mxC m |
2 |
|
e |
y myC m |
2 |
|
|
Rx |
|
|
|
|||||
|
xC ; Ry |
|
yC . |
|||||
Здесь xC , yC |
– координаты центра масс механизма. |
|||||||
Разложим функции |
|
|
в ряд Фурье и сохраним в этом ряду только |
|||||
xc |
|
и yc |
первые гармоники; получим
R |
(e) |
m |
2 |
(a |
|
cos b sin ) ..., |
||
|
|
x |
||||||
x |
|
|
|
x |
|
|||
R |
(e) |
m |
2 |
(a |
|
cos b |
|
sin ) ... . |
y |
|
y |
y |
|||||
|
|
|
|
|
|
(7.26)
Часто первая гармоника сил инерции |
|
1 |
является наибольшей. Покажем, |
||||||||
|
|||||||||||
что всегда можно установить два вращающихся противовеса |
m |
|
и m |
|
так, |
||||||
|
|
||||||||||
чтобы выполнялось условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
(7.27) |
||
|
|
|
|
|
|
m- K2
|
|
=π+α- |
|
r-
O2
|
|
|
|
A |
2 |
|
=π+α+ |
C1 |
|
C2 |
r |
|
|
|
1 |
G2 |
B 3 |
|
O |
|
||
|
G1 |
|
|
r+ |
|
|
|
|
|
|
m+ |
|
|
G3 |
|
|
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.13 |
|
|
|
При этом противовес |
m |
|
закреплен на кривошипе, а |
m |
|
установлен на допол- |
|
|
нительном валу, связанном с кривошипом зубчатой передачей внешнего зацепления с i 1. Запишем выражение (7.27) в проекции на оси:
x : |
m |
2 |
r |
|
cos |
|
|
|
|
|
2 |
r |
|
cos |
|
m |
2 |
ax cos bx sin 0 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
y : |
|
|
|
2 |
r |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
r |
|
sin |
|
m |
2 |
ay cos by sin 0. |
||||||||||||||||||||||
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Приравняем коэффициенты при cos и sin : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x : cos : |
|
|
|
2 |
r |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
r |
|
|
cos |
|
|
m |
2 |
ax 0, |
|
|||||||||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin : |
|
|
2 |
r |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
r |
|
sin |
|
m |
2 |
bx 0; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
y : cos : |
|
|
2 |
r |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
r |
|
sin |
|
m |
2 |
ay 0, |
|
||||||||||||||||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin : |
|
|
|
2 |
r |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
r |
|
|
cos |
|
m |
2 |
by 0. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После несложных преобразований получаем:
191
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
b |
y |
|
|
|
|
|
||
m |
r |
cos |
m |
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
b |
y |
|
|
|
|
||||
m |
r |
cos |
m |
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
r |
|
|
m |
a |
|
b |
|
2 |
|
|
|
b |
|
2 |
, |
||
|
|
2 |
x |
y |
|
a |
y |
x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
a |
y |
b |
x |
|
|
||||
m |
r |
m |
|
|
|
|
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
b |
x |
|
|||||
m |
r |
sin |
m |
|
|
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
r |
|
|
m |
|
a |
|
b |
|
|
2 |
|
a |
|
||
|
|
2 |
|
y |
x |
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.28)
b |
|
2 |
y |
. |
|
|
|
Определим массы противовесов и углы их установки для механизма рис.7.13, если длины звеньев и массы определяются выражениями:
ОА = АС2-= r, АВ = 2r, m=m1 = m2= m3.
Координаты точек |
A , B |
и их вторые производные по |
(аналоги ускоре- |
||
ния): |
|
|
|
|
|
xA r cos , |
yA r sin , |
|
|
|
|
xA r cos , |
yA r sin , |
|
x B
xB r cos |
2r |
r sin |
, |
yB yB 0 |
, |
|||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
xB r cos |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем выражение для первой гармоники главного вектора сил инерции (в оставляем только первое слагаемое):
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
2 |
mr cos , |
1x |
|
|
m1 |
2 |
m2 |
|
2 |
|
m3 xB 2,5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
y |
|
|
y |
y |
|
|
|
2mr sin . |
||||
|
|
m |
A |
m |
|
A |
|
B |
m |
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1y |
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
3 |
B |
|
|
|
Учитывая, ты при cos
что масса механизма и sin :
M
3
m
, из (6.16) получаем коэффициен-
ax |
|
5 |
r , ay |
0 |
, bx 0 , by |
1 |
r . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Принимаем радиусы установки противовесов |
r |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
ляем углы установки противовесов и их массы: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
m |
|
|
3 m |
|
5 |
|
|
1 |
3 m |
, m |
3 m |
|
5 |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
6 |
|
|
6 |
2 |
|
|
|
2 |
6 |
|
6 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r .
Из (7.28) опреде-
.
Противовесы в этом случае оказываются менее громоздкими.
Чаще всего ограничиваются установкой одного противовеса, уменьшающего первую гармонику неуравновешенной силы, но не обеспечивающего полное
ее устранение. Можно, например, минимизировать наибольшее значение моду- |
||
ля R |
e |
. |
|
192
7.7. Потери энергии на трение в цикловом механизме
Движение циклового механизма сопровождается преобразованием энергии. Баланс работ за цикл может быть за-
писан для механизма в следующей форме:
A |
|
ДС |
|
АПС
АТР
,
(7.27)
АДС – работа движущих сил, АПС – работа сил полезного сопротивления, АТР – работа сил трения.
Рассмотрим в качестве примера кривошипно-ползунный механизм, показанный.
Мощность сил трения
R |
R |
R |
(7.28) |
NТР M0zq M Az MBz FxB . |
F – сила трения в поступательной паре,
M |
R |
, M |
R |
, M |
R |
|
Oz |
Az |
Bz |
||||
|
|
|
– моменты сил трения во вращательных парах.
Работа сил трения за цикл при равномерном вращении входного звена с угловой скоростью q 0 определяется интегрированием этого выражения
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
N |
|
dt |
|
M |
R |
q M |
R |
M |
R |
Fx |
B |
dt. |
|
ТР |
Oz |
Az |
Bz |
|||||||||||||
ТР |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что
M |
R |
|
q dt M |
R |
dq, M |
R |
|
dt M |
R |
d |
dq, |
|
|
|
|
||||||||||
0 z |
0 z |
Az |
Az |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dq |
|
|
R |
dt M |
R |
d |
|
|
Fx dt F |
dx |
|
|||
M |
|
dq, |
B |
dq, |
||||||||
Bz |
Bz |
|
||||||||||
|
|
|
dq |
|
|
|
B |
|
dq |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем
|
|
2 |
|
|
R |
|
|
R |
d |
|
|
R |
d |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
|
|
|
M |
|
M |
|
|
M |
|
|
F |
|
B |
|
dq. |
|||
0 z |
Az |
|
Bz |
|
|
|
|||||||||||||
ТР |
|
|
|
|
dq |
|
|
dq |
|
|
dq |
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.29)
Для приближенного вычисления этого интеграла определяются значения сил и моментов сил трения, а также геометрических передаточных функций
193
механизма d / dq, d / dq, dxB / dq в k дискретных положениях: q = 2 s/k (s=0,…, k – 1). Далее вычисляется приближенное значение по формуле
A |
|
2 k 1 |
|
M R |
|
M R |
d |
M R |
d |
F |
dx |
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
B . |
|||||||
ТР |
|
k |
|
0 z |
|
Az |
dq s |
Bz |
dq |
|
dq |
|
||
|
|
s 0 |
|
|
|
|
|
s |
s |
Коэффициент полезного действия (КПД).
|
A |
. |
|
ПС |
|||
|
|
||
|
А |
|
|
|
ДС |
|
Коэффициентом потерь.
1 ,
(7.30)
(7.31)
(7.32)
КПД и коэффициент потерь зависят не только от качества механизма, свойств его кинематических пар, коэффициентов трения в них, но и от режима работы, законов программного движения, рабочей нагрузки.
Так, при полном отсутствии полезной нагрузки (АПС = 0) силы инерции звеньев механизма будут вызывать реакции в кинематических парах, а следовательно, и силы трения. В этом режиме всегда = 0, 1.
Чтобы исключить влияние инерционных сил на КПД, можно пользоваться условной расчетной моделью механизма, учитывающей только действие движущих сил и сил полезного сопротивления. В этой модели принимается, что массы всех звеньев равны нулю.
Силы трения, рассчитанные по такой модели, будут в каждом положении механизма пропорциональными полезной нагрузке, и КПД будет характеризовать только свойства кинематических пар.
Для увеличения КПД и уменьшения потерь на трение при конструировании механизмов используются различные методы. Наибольший эффект дает уменьшение коэффициентов трения в кинематических парах. Это достигается применением опор качения вместо опор скольжения, использованием смазки в кинематических парах и т.п.
194