А.Н.Евграфов, г.Н.Петров. Теория механизмов и машин. Лекция 9.
2. Синтез кулачковых механизмов
Кулачковые механизмы используются и как управляющие механизмы (например, управляющие работой клапанов), и как силовые, создающие крутящий момент на валу кулака (например, кулачковые разгружатели возмущающего момента). Основными входными параметрами синтеза являются функция положения толкателя или создаваемый кулачковым разгружателем крутящий момент; дополнительными параметрами синтеза – максимально допустимый угол давления в высшей кинематической паре [α] или минимально допустимый радиус кривизны профиля кулака ρmin. Выходными параметрами синтеза являются размеры кулачкового механизма и координаты профиля кулака.
При проведении синтеза кулачковых механизмов можно выделить три этапа:
-
Выбор закона движения толкателя (или функции положения; обычно ее записывают в виде: s = s (q), где s – перемещение толкателя, рис. 3.8);
-
Определение минимальных размеров механизма (радиуса начальной шайбы r0, эксцентриситета е);
-
О пределение профиля кулака.
Рассмотрим более подробно эти этапы.
I этап. В законе движения толкателя можно выделить в общем случае четыре фазы, которые представлены на циклограмме (рис. 3.9): удаления, дальнего стояния, возвращения и ближнего стояния. На фазе удаления происходит перемещение толкателя из самого ближнего к кулаку положения. На фазе возвращения толкатель возвращается в ближнее положение. На фазах дальнего и ближнего стояния перемещения толкателя не происходит. Выбор закона движения толкателя проводится для фаз удаления и возвращения.
Четырем фазам соответствуют углы поворота кулака: qI, qII, qIII, qIV. В некоторых механизмах (например, кулачковых разгружателях) фаза qII или qIV может оказаться равной 0. Углы qI, qII, qIII, qIV обычно определяются технологическим процессом, для которого проектируется механизм, и поэтому являются заданными. Также заданным является ход толкателя – Smax.
Обычно выбирают не саму функцию s(q), а ее вторую производную – аналог ускорения s”(q). Самая простая функция s”(q) – ступенчатая (рис. 3.10, а). Рассмотрим ее.
В ведем единичную функцию :
(3.12)
Тогда s”(q), q’(q) и s(q) можно записать в следующем виде:
(3.13)
Здесь С1 и С2 – постоянные интегрирования, которые найдем из начальных условий:
q = 0, s(0) = 0, s’(0) = 0. Отсюда С1 = 0, С2 = 0. Для отыскания амплитуды а0 воспользуемся условием: s(qI) = smax, следовательно:
,
(3.14)
Зная амплитуду а0, можно построить графики функций s(q) и s’(q) (рис. 3.10, б и в).
Н едостаток рассмотренного закона – скачок аналога ускорения (и, следовательно, ускорения) при q = 0, q = qI/2 и q = qI, что приводит к скачкообразному изменению сил инерции толкателя в этих положениях и появлению ударной нагрузки на механизм. Скачкообразное изменение ускорения называют мягким ударом. (Существует понятие и жесткого удара, при котором скачкообразно изменяется скорость толкателя, при этом ускорение стремится к бесконечности.) Для избежания ударной нагрузки используют синусоидальный закон изменения аналога ускорения (рис. 3.19).
Обозначив амплитуду аналога ускорения а0, запишем s”(q), s’(q) и s(q) в виде:
(3.15)
Найдем постоянные интегрирования из условий: s(0) = 0, s’(0) = 0. Отсюда следует, что С2 = 0, . Подставляя значение С1, перепишем аналог скорости в виде:
(3.15’)
Максимальный ход толкателя s = smax будет в конце участка удаления, т.е. при q = qI. Подставляя s(qI) = smax в выражение для перемещения толкателя, получим значение амплитуды a0:
. (3.16)
Из сравнения выражений (3.16) и (3.14) видно, что безударная работа кулачкового механизма достигается за счет увеличения амплитуды а0 в раза.
Иногда задается момент, который должен создавать кулачковый механизм на валу кулака. Например, при проектировании разгружателя возмущающего момента задается значение возмущающего момента в виде:
(3.17)
где - амплитуда – й гармоники, – ее фаза. Разгружатель должен быть спроектирован так, чтобы обеспечивалось выполнение условия:
(3.18)
г
В
На кулак 1 действует толкатель 2 силой R21, которая направлена по нормали к плоскости тарели толкателя. Сила R21 создает момент Мр относительно оси вращения кулака 0, равный:
Мр=R21h (3.19)
Для того чтобы найти плечо h силы R21, построим план скоростей механизма (рис. 3.12, б). Из подобия треугольника плана скоростей и треугольника ОАВ на плане механизма следует соотношение:
, (3.20)
отсюда найдем h:
(3.21)
Толкатель прижимается к кулаку пружиной сжатия жесткостью с, которая при сжатии создает усилие, пропорциональное жесткости и деформации: с(s0+s), где s0 – первоначальное поджатие пружины. Для статической модели, без учета сил трения, сил тяжести и сил инерции, сила, с которой толкатель действует на кулак, равна силе упругости пружины, т.е.
. (3.22)
С учетом (3.21) и (3.22) условие (3.18) запишем в виде:
(3.23)
Разделяя переменные в (3.23) и интегрируя, получим:
, (3.24)
где С1 – постоянная интегрирования. Обозначим , получим закон перемещения толкателя в виде:
(3.24)
Постоянную интегрирования С1 выбираем так, чтобы подкоренное выражение в (3.24) при любом q было неотрицательным. На этом заканчивается первый этап и начинается второй.