§ 3. Многочлены на множестве комплексных чисел.

Определение 3.1. Многочленом n-ой степени (nN) от переменной х называется выражение вида

,

где некоторые комплексные числа, называемые коэффициентами многочлена, при этом , а переменная х может принимать произвольные (в том числе и комплексные) значения.

Сумма, разность и произведение многочленов также являются многочленами.

Определение 3.2. Пусть даны два многочлена

,

,

причем многочлен не равен тождественно нулю (и, таким образом, не все его коэффициенты равны нулю) и n  ≥ m. Если существует такой многочлен , что, то говорят, что многочлен делится на без остатка, при этом многочлен называется частным от деления на . Разделить многочлен на с остатком означает представить его в виде , где , некоторые многочлены, причём многочлен либо тождественно равен нулю, либо имеет меньшую степень, чем многочлен . При этом многочлен называется частным, а остатком от деления на .

Теорема 3.1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена на разность равен значению многочлена в точке а, то есть .

Определение 3.3. Уравнение , где многочлен степени п, называется алгебраическим уравнением п-ой степени. Число , при котором , называется корнем этого уравнения или корнем многочлена .

Теорема 3.2 (следствие из теоремы Безу). Если а – корень многочлена , то многочлен делится на двучлен () без остатка.

Теорема 3.3. Если аС – корень многочлена с вещественными коэффициентами и С – число, комплексно сопряжённое с a, то тоже корень данного многочлена.

Теорема 3.4 (основная теорема алгебры). Любой многочлен , степень которого , имеет, по крайней мере, один корень (в общем случае комплексный).

Теорема 3.5. Любой многочлен

,

где , на множестве комплексных чисел можно представить в виде разложения:

, (3.1)

которое является единственным с точностью до порядка сомножителей. Числа – все возможные (в том числе и комплексные) корни многочлена , других корней этот многочлен не имеет.

Замечание 3.1. Среди чисел могут встречаться одинаковые. Такие корни называются кратными.

Определение 3.4. Число с называется корнем многочлена кратности k, если можно представить в виде:

, причем .

Замечание 3.2. Из теоремы 3.5 следует, что всякий многочлен n-ой степени на множестве комплексных чисел имеет ровно п корней с учётом кратности.

Для многочлена с действительными коэффициентами равенство (3.1) можно преобразовать в так называемое разложение на неприводимые множители на множестве действительных чисел. Любому комплексному корню такого многочлена соответствует комплексно сопряжённый корень (теорема 3.3). Перемножив в равенстве (3.1) скобки, соответствующие комплексно сопряжённым корням, приходим к разложению на линейные и квадратичные множителей с действительными коэффициентами. Квадратичные множители в полученном соотношении будут иметь отрицательные дискриминанты и, следовательно, не могут быть разложены на линейные множители на множестве действительных чисел. Описанное разложение называется разложением многочлена с действительными коэффициентами на неприводимые множители.

Пример 3.1. Разложить на R на неприводимые множители двучлен .

►1-й способ.

.

2-й способ. Найдём все (и комплексные в том числе) корни двучлена . Для этого решим уравнение , отсюда . Для вычисления всех 6 значений можно воспользоваться формулой (2.5), предварительно записав число 1 в тригонометрической форме: . Однако, в таких простых случаях значения корня можно получить, используя их расположение на комплексной плоскости. В данном случае значения расположены в вершинах правильного шестиугольника, одна из вершин которого находится в точке (1, 0), так как х₁=1– одно из значений (рис. 3.1). Для х₂ имеем равенство:

.

Рис. 3.1. К примеру 3.1.

Остальные значения получим, используя симметрию их расположения на комплексной плоскости:

, , , .

По теореме 3.5 данный двучлен представим в виде следующего произведения:

.

Отсюда, перемножив скобки с комплексно сопряжёнными корнями, получаем разложение

.◄

Пример 3.2. Составить многочлен пятой степени с вещественными коэффициентами, который делится без остатка на двучлен , а также имеет корни кратности 1 и кратности 2, коэффициент при старшей степени многочлена равен 1.

►Обозначим искомый многочлен через P₅(x). Он делится без остатка на разность по условию, а также на , поскольку имеет корень кратности 2 (определение 3.4). Следовательно, P₅(x) можно представить в виде: P₅(x) = ()Q₂(x), где Q₂(x) – некоторый многочлен второй степени. Искомый многочлен имеет корень кратности 1, поэтому по теореме 3.3 число также является его корнем кратности 1, следовательно, данный многочлен должен делиться без остатка на произведение , которое после раскрытия скобок принимает вид (это и есть Q₂(x)). Итак, для многочлена P₅(x) получено разложение:

P₅(x) = ().

Раскрывая скобки, получаем многочлен, удовлетворяющий условиям примера: P₅(x) = .◄

10