Фурье (1)
.pdf
О тригонометрических рядах Фурье
Пусть ( ) − периодическая функция, описывающая некоторое колебательное движение. Требуется представить ( ) в виде суммы функций вида
cos( + ) = cos + sin . Такие функции называются гармониками.
Предположим, что период функции = 2. Разложение в тригонометрический ряд будет выглядеть следующим образом:
? |
0 |
∞ |
|
|
|
|
( ) ↔ |
|
+ ∑ |
( |
cos + |
sin ) |
(1) |
|
||||||
|
2 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если разложение (1) существует и ряд в правой части сходится, то коэффициенты разложения находятся по формулам:
1
0 = ∫−( )
1
= ∫−( ) cos
1
= ∫−( ) sin
Предположим, что тригонометрический ряд в правой части (1) сходится к некоторой функции ( ), которая называется суммой тригонометрического ряда Фурье. Справедлива следующая теорема:
Теорема Дирихле. Пусть ( ) − 2 − периодическая функция, удовлетворяющая условиям:
1)( ) − кусочно-непрерывна и имеет на [− , ] не более чем конечное число точек разрыва, причем все они первого рода.
2)( ) имеет на [− , ] не более чем конечное число экстремумов.
Тогда на промежутке [− , ] тригонометрический ряд Фурье сходится, причем его сумма ( ) = 20 + ∑∞=1( cos + sin ) такова, что
1) Если − точка непрерывности функции ( ), то ( ) = ( ).
2) Если − точка разрыва функции ( ), то ( ) = ( +0)− ( −0).
2
3) ( ) = (− ) = ( −0)+(− +0).
2
Варианты расчетного задания.
•Разложить в тригонометрический ряд Фурье 2π-периодическую функцию.
•Построить график исходной функции и на том же рисунке построить графики частичных сумм ряда Фурье: S5(x) – сумма пяти гармоник и S100(x) – сумма 100 гармоник.
1 вариант |
|
|
+ 1, [− , 1) |
8 вариант |
|
− 1, [− , 1) |
15 вариант |
|
+ 1, [− , 1) |
22 вариант |
|
|
− 3, [− , 1) |
|
( ) |
= { |
( ) = { |
|
( ) = { |
( ) = { |
|
|
|||||||
ln , [1, ) |
|
|
cos , [1, ) |
ln (4 − ), [1, ) |
||||||||||
|
|
|
ln (3 + ), [1, ) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 вариант |
|
|
− 1, [− , 1) |
9 вариант |
|
− 3, [− , 1) |
16 вариант |
|
− 1, [− , 1) |
23 вариант |
|
|
+ 3, [− , 1) |
|
( ) |
= { |
( ) = { |
( ) = { |
( ) = { |
|
|
||||||||
sin , [1, ) |
sin2 , [1, ) |
|
1 − sin2 , [1, ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin + 1, [1, ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 вариант |
|
|
|
10 вариант |
|
|
17 вариант |
|
|
24 вариант |
|
|
|
|
( ) = |
|
−1, [− , 1) |
( ) = |
|
+1, [− , 1) |
( ) = |
|
+1, [− , 1) |
( ) = |
|
|
+3, [− , 1) |
||
|
{ 2 ln , [1, ) |
|
{ 2 ln , [1, ) |
|
{ 3 ln , [1, ) |
|
{2 ln 3 , [1, ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 вариант |
|
|
, [− , 2) |
11 вариант |
|
2 + , [− , 2) |
18 вариант |
|
|
25 вариант |
|
|
2 − , [− , 2) |
|
( ) = { |
|
( ) = { |
|
( ) = { |
|
−2, [− , 2) |
( ) = { |
|
||||||
ln( − 1), [2, ) |
ln( + 1), [2, ) |
ln( + 1), [2, ) |
ln( + 4), [2, ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 вариант |
|
|
2 + 1, [− , 3) |
12 вариант |
|
3 + 3, [− , 3) |
19 вариант |
|
2 − 1, [− , 3) |
26 вариант |
|
|
3 − 3, [− , 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( ) |
= { |
ln , [3, ) |
( ) = { |
2 + ln , [3, ) |
( ) = { |
2 ln , [3, ) |
( ) = {2 − ln 2 , [3, ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 вариант |
|
|
|
13 вариант |
|
|
20 вариант |
|
|
27 вариант |
|
|
|
|
( ) = {cos , [− , 1) |
( ) = {cos , [− , 1) |
( ) = {cos , [− , 1) |
( ) = {cos , [− , 1) |
|||||||||||
|
|
|
ln , [1, ) |
|
|
ln , [1, ) |
|
|
2 + ln , [1, ) |
|
|
|
4 + ln , [1, ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 вариант |
|
|
|
14 вариант |
|
|
21 вариант |
|
|
28 вариант |
|
|
|
|
|
|
|
1 − , [− , 1) |
|
|
1 − , [− , 1) |
1 − 2 , [− , 1) |
|
|
|
7 − , [− , 1) |
|||
( ) |
= { |
ln , [1, ) |
( ) = { |
ln , [1, ) |
( ) = { |
|
2 − ln , [1, ) |
( ) = { |
3 + ln , [1, ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примерно такой график должен получиться. Прямые линии – это данные в условии функции. В данном случае задана была кусочно-линейная функция, потому что некоторые студенты брали интегралы вручную.