Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМП Тригонометрия (часть 1).doc

Скачиваний:

Добавлен:

17.07.2019

Размер:

7 Mб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Новосибирский авиационный технический колледж

«УТВЕРЖДЕНО»

Председатель комиссии математических и ЕНД

__________________/ О.М. Аюбова/

Протокол № _____ от « ___ » _________ 2007г.

Пособие для самостоятельной работы студентов по теме «Тригонометрические функции, их свойства и графики»

Учебная дисциплина: Информатика

Специальности: 151001, 160203

Разработал: О.М. Аюбова

2007

Содержание

	Стр.
1 Самостоятельная работа № 1 «Числовая окружность. Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента».
2 Справочник. Решение типовых задач. Частных модулей 3.1, 3.2
3 Самостоятельная работа № 2. Тестовая работа. «Основные тригонометрические тождества. Радианное и градусное измерение углов и дуг. Формулы приведения».
4 Самостоятельная работа № 3, 4. «Функции , их графики и свойства».
5 Самостоятельная работа № 5 Расчётно – графическая работа «Графики тригонометрических функций. Преобразования графиков функций. Решение уравнений графическим методом».
6 Алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений графическим методом.
7 Преобразование графиков функций
8 Решение типовых задач частного модуля 3.5
9 Вопросы для самоконтроля расчётных модулей 3.1 – 3.5
10 Самостоятельная работа № 6. Типовой расчёт «Основные формулы тригонометрии и следствия из них».
11 Краткий справочник основных формул тригонометрии.
12 Решение типовых задач частного модуля 3.6
13 Самостоятельная работа № 7. Тестовая работа. «Решение простейших тригонометрических уравнений, неравенств».
14 Краткий справочник формул решения уравнений частного модуля 3.7
15 Решение типовых задач частного модуля 3.7
16 Алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений.
17 Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.
18 Самостоятельная работа № 8 «Решение тригонометрических уравнений».
19 Краткий справочник по решению тригонометрических уравнений с решением типовых задач частного модуля 3.8
20 Инструкция к решению тригонометрических уравнений
21 Вопросы для самоконтроля частных модулей 3.7, 3.8

Модуль № 3 «Тригонометрические функции, их свойства и графики»

Целью данного пособия является формирование представления о тригонометрических функциях, их свойствах, графиках, формирование умений решать тригонометрические уравнения и неравенства, выполнять несложные тригонометрические преобразования.

Пособие содержит справочный материал, типовые задачи с подробным решением, самостоятельные работы и вопросы для самоконтроля.

Пособие отвечает требованиям обязательного минимума содержания образования по данной теме.

Самостоятельная работа студента (СРС)

СРС № 1 «Числовая окружность. Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента».

Форма организации: индивидуальная.

1 Цели работы: проверить сформированность умений работать с числовой окружностью, усвоение понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента, умение находить .

2 Уровни усвоения:

Знать:

- понятие числовой окружности;

- определение единичной окружности;

- формулу длины окружности;

- определение и в тригонометрии;

- знаки в каждой из четвертей единичной окружности;

- свойства: чётность, нечётность, периодичность синуса, косинуса, тангенса, котангенса числового аргумента;

- табличные значения .

Уметь

- находить на числовой окружности точки, соответствующие заданному числу;

- определять взаимное расположение на числовой окружности точек, соответствующих данным числам;

- определять какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая числу;

- находить декартовы координаты точек числовой окружности;

- вычислять значение синуса и косинуса.

3 Методические рекомендации и указания.

3.1 Работа состоит из 24 вариантов. Каждый вариант содержит по 5 типовых заданий:

- задания 1 – 3 направлены на формирование умений работать с числовой окружностью;

- задание 4 – на закрепление умений находить с помощью числовой окружности;

- задание 5 – на закрепление свойств чётности, нечётности, периодичности синуса, косинуса, тангенса, котангенса числового аргумента и знаний табличных значений

3.2 При выполнении работы студент может использовать:

- решение типовых задач учебно – методического пособия по данной теме;

- краткий справочник пособия;

- литературу:

- А. Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа», ч.1 Учебник 10 – 11 классы.  1 – 5;

- под редакцией Г.Н. Яковлева «Алгебра и начала анализа» математика для техникумов. Ч.1, стр.262, 263 (Наука М.1977).

4 Содержание работы:

Задание 1

Найдите на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам.

1.1 и

1.2 и

1.3 и

1.4 и

1.5 и

1.6 и

1.7 и

1.8 и

1.9 и

1.10 и

1.11 и

1.12 и

1.13 и

1.14 и

1.15 и

1.16 и

1.17 и

1.18 и

1.19 и

1.20 и

1.21 и

1.22 и

1.23 и

1.24 и

Задание 2

Определите, как расположены на числовой окружности точки, соответствующие числам:

2.1 и

2.2 и

2.3 и

2.4 и

2.5 и

2.6 и

2.7 и

2.8 и

2.9 и

2.10 и

2.11 и

2.12 и

2.13 и

2.14 и

2.15 и

2.16 и

2.17 и

2.18 и

2.19 и

2.20 и

2.21 и

2.22 и

2.23 и

2.24 и

Задание 3

Найдите на числовой окружности точки с данной ординатой или абсциссой и запишите, каким числам они соответствуют.

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24

Задание 4

Найдите , если:

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

4.18

4.19

4.20

4.21

4.22

4.23

4.24

Задание 5

Вычислите:

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

Справочник

1 Единичная окружность – модель для введения понятий тригонометрии.

Единичная окружность – окружность, радиуса 1 единица (Рис.1).

Длина окружности .

Рис. 1

- горизонтальный диаметр единичной окружности,

- вертикальный диаметр окружности.

Точка - начальная (стартовая) точка.

Пусть дана единичная окружность и на ней отмечена начальная точка . Поставим в соответствие каждому действительному числу точку окружности по следующему правилу:

1) Если , то двигаясь из точки в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности) опишем по окружности путь длиной . Точка и будет искомой точкой .

2) Если , то двигаясь из точки в направлении по часовой стрелки (отрицательное направление обхода окружности) опишем по окружности путь длиной . Точка и будет искомой точкой .

3) Числу поставим в соответствие точку .

Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) называют числовой окруджностью.

 - называют I четвертью единичной окружности.	 соответствует
 - II четвертью.	 соответствует
 - III четвертью.	 соответствует
 - IV четвертью.

Ясно, что соответствует число , соответствует число соответствует число , соответствует число , где и т.д.

cos t

- ордината точки единичной окружности;

- абсцисса точки единичной окружности;

3 Таблица знаков

I четверть	II четверть	III четверть	IV четверть
+	+	-	-
+	-	-	+
+	-	+	-
+	-	+	-

4 Таблица значений .



0		1	0
1		0	-1
0	1	-	0
-	1	0	-

5 Для любого числа верны равенства:

, где

6 Основные тригонометрические тождества:

7 Радианное и градусное измерение углов и дуг.

Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается.



– центральный угол, радиус которого равен длине дуги, на которую он опирается.

8 Формулы приведения – формулы, позволяющие перейти от значения тригонометрической функции любого аргумента к значению тригонометрической функции угла I четверти, вида:

и т.д.

Правила работы с формулами

1 Для аргумента вида наименование функции меняем. Для аргументов вида наименование функции не меняем.

2 Знак полученной функции будет таким же, как и у данной.

Решение задач

Задача 1. Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам

Решение: т.к. , то для отыскания соответствующей точки окружности

нужно пройти по окружности путь заданной длины, двигаясь от стартовой точки против часовой стрелки. Т.к.  , то разделив  на 6 равных частей (или дугу I четверти на 3 равные части) и отсчитав первую из отмеченных точек, считая от , получим искомую точку.

Т. к. и ,

то для отыскания соответствующей точки окружности нужно пройти от точки по часовой стрелке, путь равный , т.е пройти путь по окружности и ещё четверть этого пути (или половину III четверти). Получим искомую точку

Задача 2. Найти на числовой окружности точки с абсциссой и записать, каким числам они соответствуют.

Решение: Прямая пересекает числовую окружность в двух точках

и , которые соответствуют числам и соответственно, а также любым числам вида , , т.е .

Задача 3. Найти , если .

Решение: Отметим на единичной окружности точку, соответствующую

числу . Найдём ординату и абсциссу этой точки, т.е. и .

Зная, что

получим ,

тогда

Задача 4. Упростить выражения:

а) ; б)

Решение:

а) .

б) .

Задача 5. Найти , если и

Решение.

1) Т.к. , то . По условию .

2) .

3) .

Ответ:

Задача 6. Найти , если и .

Решение:

Т.к , то . По условию , тогда и .

Задача 7. Упростить .

Решение:

По формулам приведения:

, т.к. и наименование функции меняем;

, т.к. и наименование функции не меняем;

, т.к. и наименование функции меняем.

Тогда .

Задача 8. Выразить:

а) в градусах;

б) в радианах.

Решение:

а) .

б) .

СРС № 2

Тестовая работа

«Основные тригонометрические тождества.

Радианное и градусное измерение углов и дуг. Формулы приведения».

Форма организации: индивидуальная.

1 Цели работы: закрепить и углубить умения использовать основные тригонометрические тождества и формулы приведения при решении задач, формулы перехода от радианной (градусной) меры к градусной (радианной) углов и дуг.

2 Уровни усвоения.

Знать:

- определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента;

- таблицу знаков и значений ;

- свойства синуса, косинуса, тангенса, котангенса: , , …, , …, , …;

- основные тригонометрические тождества;

- соотношение между градусной и радианной мерами угла;

- правила использования формул приведения.

Уметь:

- выполнять преобразования тригонометрических выражений, используя основные тригонометрические тождества;

- находить по заданному значению функции значения других тригонометрических функций;

- выражать градусную меру угла в радианной, радианную в градусной;

- упрощать выражения по формулам приведения.

3 Методические рекомендации и указания.

3.1 Работа состоит из 24 вариантов. Каждый вариант содержит 4 задания:

задания 1, 2 – преобразование тригонометрического выражения;
задание 3 – нахождение тригонометрических функций по заданному значению одной из них;
задание 4 – перевод градусной (радианной) меры угла в радианную (градусную);

3.2 При выполнении работы студент может использовать:

- краткий справочник формул;

- таблицу знаков и значений ;

- литературу:

- А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа», ч.1, учебник 10 – 11 кл.  3 -  8;

- «Алгебра и начала анализа» (учебник для техникумов) под редакцией Г.Н. Яковлева  29, 30.

3.3 Выполнив задание, студент выбирает верный ответ А, Б, В, Г или Д и записывает его в таблицу кодов:

Номер задания	1	2	3	4
Код

4 Содержание работы.

Задание 1. Упростить выражения.

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

Задание 2. Упростить выражения, используя формулы приведения.

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.20

2.21

2.22

2.23

2.24

Задание 3. По данному значению функции найдите значения других тригонометрических функций.

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24

Задание 4. Переведите из градусной (радианной) меры в радианную (градусную).

4.1 и

А и

Б и

В и

Г и

4.2 и

А и

Б и

В и

Г и

4.3 и

А и

Б и

В и

Г и

4.4 и

А и

Б и

В и

Г и

4.5 и

А и

Б и

В и

Г и

4.6 и

А и

Б и

В и

Г и

4.7 и

А и

Б и

В и

Г и

4.8 и

А и

Б и

В и

Г и

4.9 и

А и

Б и

В и

Г и

4.10 и

А и

Б и

В и

Г и

4.11 и

А и

Б и

В и

Г и

4.12 и

А и

Б и

В и

Г и

4.13 и

А и

Б и

В и

Г и

4.14 и

А и

Б и

В и

Г и

4.15 и

А и

Б и

В и

Г и

4.16 и

А и

Б и

В и

Г и

4.17 и

А и

Б и

В и

Г и

4.18 и

А и

Б и

В и

Г и

4.19 и

А и

Б и

В и

Г и

4.20 и

А и

Б и

В и

Г и

4.21 и

А и

Б и

В и

Г и

4.22 и

А и

Б и

В и

Г и

4.23 и

А и

Б и

В и

Г и

4.24 и

А и

Б и

В и

Г и

СРС № 3, 4

«Функции , , их графики и свойства»

Форма организации: индивидуальная.

1 Цели работы: построить графики функций , и по графикам выполнить исследование функций по схеме исследования функций.

2 Уровни усвоения.

Знать:

- схему исследования функций;

- вид графиков функций , ;

- свойства функций , ;

- простейшие преобразования графиков функций;

- формулы приведения.

Уметь:

- используя формулы приведения, выразить через ;

- выполнив простейшие преобразования, построить графики , ;

- по графикам функций , прочитать свойства функций и записать их согласно схеме исследования функций.

3 Методические рекомендации и указания.

3.1 Работа выполняется в два этапа после изучения тем «Функция , её график и свойства», «Функция , её график и свойства» соответственно.

3.2 Рабочие конспекты составляются по плану:

1 Записывается тема.

2 По формулам приведения косинус (котангенс) выражается через синус (тангенс).

3 Строится график изучаемой функции.

4 По графику читаются свойства функции и записываются согласно схеме исследования функции.

3.3 После составления рабочего конспекта выполняется самопроверка по образцу и вопросам для самоконтроля.

3.4 При выполнении работы студент может использовать:

- схему исследования функции;

- литературу:

- А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа», часть 1, учебник 10 – 11 кл.  9, 10, 11, 15;

- «Алгебра и начала анализа». Часть 1 (учебник для техникумов) под редакцией Г.Н. Яковлева, глава V  29.

СРС № 5

Расчётно – графическая работа

«Графики тригонометрических функций. Преобразования графиков функций.

Решение уравнений графическим методом»

Форма организации: работа в парах.

1 Цели работы: закрепить и углубить знания о преобразованиях графиков функций, умения строить графики тригонометрических функций, переходить от одного способа задания к другому и решать тригонометрические уравнения графическим методом.

2 Уровни усвоения.

Знать:

- графики элементарных функций;

- способы задания функций;

- виды преобразований графиков функций;

- графики функций ;

- алгоритм решения тригонометрических уравнений графическим методом.

Уметь:

- строить графики элементарных функций (в том числе и графики );

- выполнять преобразования графиков тригонометрических функций и описывать эти преобразования;

- по аналитическому заданию функции описывать построение графика функции;

- по графику функции задавать функцию аналитически;

- решать несложные тригонометрические уравнения графическим методом.

3 Методические рекомендации и указания.

3.1 Работа состоит из 15 вариантов (3 последних повышенной сложности, отмечены *). Каждый вариант содержит 3 задания:

задание 1 – решение уравнений вида и сводящихся к ним;
задание 2 – описание выполняемых преобразований с графиком тригонометрической функции и построение графика данной функции;
задание 3 – исследование графика функции и задание данной функции аналитическим способом.

3.2 При выполнении работы студент может использовать:

- алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений графическим методом;

- краткий справочник «Преобразование графиков функций»;

- литературу:

- А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа», часть 1, учебник 10 – 11 кл. Глава I ,  9 - 13, 18;

- «Алгебра и начала анализа». Часть 1 (учебник для техникумов) под редакцией Г.Н. Яковлева, глава V,  35.

3.3 Студентам предлагается для дополнительной работы выполнить задания повышенной сложности (варианты 13 - 15). Для получения «удовлетворительно» достаточно выполнить задание 1а и задание 2а или 3, на «хорошо» задание 1а, 2а и 3, на «отлично» задание 1а,б; 2 а, б и 3.

4 Содержание работы.

Задание 1. Решите уравнения графически:

1.1 а) б)

1.2 а) б)

1.3 а) б)

1.4 а) б)

1.5 а) б)

1.6 а) б)

1.7 а) б)

1.8 а) б)

1.9 а) б)

1.10 а) б)

1.11 а) б)

1.12 а) б)

1.13* а) б)

1.14* а) б)

1.15* а) б)

Задание 2. 2.1 Опишите построение графика функции по её аналитическому заданию.

2.2 Постройте график функции.

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13*

2.14*

2.15*

Задание 3. Задайте аналитически функцию, график которой изображён.

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

Алгоритм решения простейших

тригонометрических уравнений графическим методом

Нет Да

Решение задач

Задача 1. Решить графически уравнение: .

Решение:

- строим и в одной системе координат и находим абсциссы точек пересечения или: пусть , тогда получим уравнение .

Строим в одной и той же системе координат графики и .

По графику находим, что или , , тогда , , т.е. ,

Ответ: ,

Задача 2. Описать построение графика: а) ; б) и построить его.

Решение:

а) Построим полуволну графика и выполним её сжатие к оси с коэффициентом 3, затем построим весь график.

б) Построим синусоиду (полуволну графика ), выполним её сдвиг на ед. вправо, а затем сдвиг на 1 ед. вверх вдоль оси

Или: Построим новую систему координат , где и в ней график - это и будет график в «старой» системе координат.

Преобразование графиков функций

1 - график этой функции получается из графика

сжатием к оси ординат ( ), если ;
растяжением от оси , если .

2 - график этой функции получается из графика

растяжение от оси абсцисс ( ), если ;
сжатием к оси , если .

3 - график этой функции получается из графика параллельным переносом вдоль оси на единиц:

влево, если ;
вправо, если .

4 - график этой функции получается из графика параллельным переносом вдоль оси на единиц:

вверх, если ;
вниз, если .

5 - график этой функции получается из графика , путём преобразования симметрии относительно оси .

Вопросы для самоконтроля

1 Какую окружность называют единичной, числовой?

2 Зачем вводится новая математическая «единичная окружность»?

3 Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс числового аргумента?

4 Где и как отмечают значения ?

5 Какие знаки имеют в каждой числовой четверти?

6 В какой четверти единичной окружности:

имеют одинаковый знак;
и ;
и ;
и .

7 Каковы значения для и ?

8 Что вы можете рассказать о градусной и радианной мерах углов и дуг? Каковы соотношения между этими мерами?

9 Что такое 1 радиан?

10 Какова градусная мера 1 радиана?

11 Какими свойствами обладают и ?

12 Формулы, какого вида называют формулами приведения?

13 Для чего нужны формулы привидения?

14 Каковы правила запоминания формул приведения?

15 Назовите основные тригонометрические тождества. Как их получить?

16 Назовите тригонометрические функции числового аргумента. Какое название имеет график каждой из этих функций?

17 Каков период, основной период каждой тригонометрической функции? ?

18 Какими свойствами обладают тригонометрические функции?

19 Какие преобразования выполнимы с графиками тригонометрических функций? В чём суть этих преобразований?

СРС № 6

Типовой расчёт

«Основные формулы тригонометрии и следствия из них»

Форма организации: индивидуальная.

1 Цели работы: закрепить и углубить умения вычислять значения тригонометрических функций, используя основные формулы тригонометрии и следствия из них.

2 Уровни усвоения.

Знать:

- основные соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента;

- формулы синуса, косинуса, тангенса суммы и разности двух аргументов;

- формулы синуса, косинуса, тангенса двойного и половинного аргументов;

- формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и разность;

- формулы преобразования суммы (разности) синусов, косинусов в произведение.

Уметь:

- выражать тригонометрические функции через значение одной из них;

- находить значения тригонометрических функций, используя основные формулы тригонометрии и следствия из них.

3 Методические рекомендации и указания.

3.1 Работа состоит из 24 вариантов. Каждый вариант содержит 5 заданий, которые дают возможность закрепить и углубить знания основных формул тригонометрии и умения использовать их при вычислении значений тригонометрических функций.

задание 1 – использование формул синуса, косинуса, тангенса суммы, разности двух аргументов;
задание 2 – использование формул двойного аргумента;
задание 3 – использование формул половинного аргумента, двойного аргумента;
задание 4 – использование формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, разность и суммы; разности синусов, косинусов в произведение;
задание 5 – использование различных формул тригонометрии, которые студент выбирает самостоятельно. Предназначено для дополнительной работы.

3.2 При выполнении типового расчёта студент может использовать:

- краткий справочник формул;

- примеры решения задач с применением основных формул;

- литературу «Алгебра и начала анализа». Часть 1 (учебник для техникумов) под редакцией Г.Н. Яковлева, глава V  31.

4 Содержание работы.

Задание 1. Вычислите:

1.1