8.3. Операційне числення, перетворення Лапласа

Література: Луцків, М. М. Математичне моделювання і комп'ютерне симулювання електромеханічних та стрічкопровідних систем / М. М. Луцків, І. М. Хмельницька. – Львів: Укр. акад. друкарства, 2010. – 172 с. // С. 11.

Диференціальне числення застосовується для описання математичних моделей об'єктів і систем, де є рівняння або система диференціальних рівнянь. Однак вони складні і незручні для комп'ютерного симулювання.

Операційне числення є вигідним інструментом, придатним при моделюванні і комп'ютерному симулюванні, тому що спрощує запис тих рівнянь і їх розв'язання на підставі алгебраїчних перетворень.

Операційне числення до запису диференційних рівнянь полягає в застосуванні оператора диференціювання р = d/dt, що дає можливість записувати диференціальні рівняння у так званій операторній формі.

Окрім оператора диференціювання р = d/dt, введемо опоператор інтегрування 1/р = , де τ – є змінною інтегрування. Операторами диференціювання р та інтегрування 1/р можна користатися як загальними числами в алгебрі. Відновідні піднесення до степені цих операторів рⁿ та 1/рⁿ означають n-кратне диференціювання р або інтегрування 1/р.

Візьмемо для прикладу диференціальне рівняння

a₃[d³y/dt³] + a₂[d²y/dt²] + a₁[dy/dt] + а₀ у = b₁[dx/dt] + b₀ x(t), (1.3)

Після введення оператора диференціювання р = d/dt рівняння (1.3) приймає операторну форму запису:

а₃ р³ у + а₂ р²у + a₁ру + а₀ у = b₁рх + b₀х. (1.4)

Далі зробимо алгебраїчне перетворення (винесення змінних х та у), матимемо

(а₃р³ +а₂р² +а₁р + а₀)у = (b₁р + b₁)х (1.5)

Тепер можна визначити змінну у:

у = (b₁р + b₁)/(а₃р³ +а₂р² +а₁р + а₀)х. (1.6)

Розв’язок рівняння (1.6) в операторній формі є дуже простим, що є перевагою операторного методу. Недоліком методу є те, що він справедливий тільки для нульових початкових умов.

Претворення диференціальних рівнянь до алгебраїчного вигляду та їх вирішення може бути виконано за допомогою перетворення Лапласа, в якому застосовується функція (ядро) е^-st в площині комплексної змінної s = α + jω, при цьому α, ω є числами дійсними, j – уявна одиниця.

Перетворення Лапласа функції Lf(t) здійснюється згідно виразу:

X(s) = Lf(t) = . (1.7)

При цьому f(t) називають оригінелом і вона є функцією часу, F(s) – перетворення Лапласа (зображення) є функцією змінної (оператора) s.

Зворотне перетворення Лапласа – перехід від площини змінної s до площини змінної часу t визначається формулою:

f(t) = L^-1F(s) = . (1.8)

Перетворення Лапласа спрощує моделювання, аналіз і комп'ютерне симулювання динамічних об'єктів і систем. Щоб виконати перетворення Лапласа функції f(t), потрібно визначити інтеграл згідно з виразом (1.7). Для спрощення операції перетворення в таблиці 1.1 подано перетворення Лапласа для деяких функцій.

Таблиця 1.1

Таблиця перетворення функцій

№	Оригінал f(t)	Зображення F(s) = Lf(t)
1	1(t)	1/s
2	T	1/s2
3	e-at	1/(s + a)
4	sin ωt	ω/(s2 + ω2)
5	cos ωt	s/(s2 + ω2)
6	e-at sin ωt	ω/[(s + α)2 + ω2]
7	e-at cos ωt	(s + α)/[(s + α)2 + ω2]
8	(e-t/T1 + e-t/T2)/(T1 – T2)	1/(T1s + 1)(T2s + 1)

Для розв'язування диференціальних рівнянь за допомогою перетво-рення Лапласа потрібно знати властивості перетворення Лапласа.

8.4. Основні теореми перетворення Лапласа L[f(t)] = F(s)

Література: Луцків, М. М. Математичне моделювання і комп'ютерне симулювання електромеханічних та стрічкопровідних систем / М. М. Луцків, І. М. Хмельницька. – Львів: Укр. акад. друкарства, 2010. – 172 с. // С. 15 – 17.

1. Теорема лінійності

Перетворення лінійної комбінації (суми) функцій дорівнює сумі перетворень (зображень) цих функцій:

L[f₁(t) + a₂f₂(t) + …] = a₁Lf₁(t) + a₂Lf₂(t) + … = a₁F₁(s) + a₂F₂(s) + … (1.9)

2. Теорема перетворення похідної

L[f '(t)] = sL[f(t)] – f(0) = sF(s) – f(0), (1.10)

f(0) – початкові умови, або значення функції f(t) для t = 0.

Для нульових початкових умов перетворення Лапласа для похідних n-го порядку обчислюється за формулою

L[f ⁿ(t)] = sⁿF(s). (1.11)

3. Теорема про перетворення інтеграла

= L[f(t)]/s = F(s)/s. (1.12)

Отже, операція диференціювання в перетворенні Лапласа відповідає множенню зображення на оператор s, а операція інтегрування – діленню зображення на оператор s. Тому виконання операцій диференціювання та інтегрування зображень значно спрощується.

4. Теорема зміщення

Якщо функція часу f(t) підлягає перетворенню Лапласа F(s) = Lf(t), то зв’язок між перетворенням функції f(t) і перетворенням тієї ж функції, зміщеної на час τ, є таким:

L[f(t – τ)] = е^–τs L[f(t)] = е^–τs F(s),

де τ – час зміщення (час запізнення).

5. Теореми про початкове значення зображення та про кінцеве значення оригіналу

5.1. Початкове значення зображення відповідає кінцевому значенню оригіналу.

5.2. Кінцеве значення оригіналу відповідає початковому значенню зображення.

5.3. Кінцеві значення зображення та оригіналів сходяться. Ця теорема є зручною для перевірки результатів моделювення і комп’ютерного симулювання.

Припустимо, що задано диференційне рівняння другого порядку при нульових початкових умовах типу (1.1)

a₂[d²y/dt²] + a₁[dy/dt] + а₀ у = b₀ x(t), (1.1)

Виконавши перетворення Лапласа для цього рівняння, одержимо рівняння в операторній формі запису

a₂s²Y(s) + a₁sY(s) + а₀ Y(s) = b₀X(s), (1.13)

де X(s), Y(s) – перетворення Лапласа вхідної та вихідної величини.

Диференціальне рівняння (1.13) в операторній формі запису можна тлумачити як алгебраїчне рівняння. В цьому рівнянні (1.13) виконаємо винесення перетворення Лапласа Y(s) за дужки. В результаті матимемо

(a₂s² + a₁s + а₀ )Y(s) = b₀X(s), (1.14)

Тепер перетворення Y(s) можна визначити таким чином:

Y(s) = b₀X(s)/(a₂s² + a₁s + а₀ ), (1.15)

Очевидно, розв’язок рівняння ) (1.13) у вигляді перетворення Лапласа становиться досить простим.