Пример расчета на устойчивость в динамическом режиме работы

В динамическом режиме звено характеризуется динамической характеристикой, являющейся уравнением взаимосвязи между входными и выходными параметрами, преобразованными по Лапласу, т.е. передаточными функциями. Значения передаточных функций для наших звеньев берем из справочных данных.

W_ор(P) = 1/ P – передаточная функция объекта регулирования;

W_д(P) = (4 P + 2)/ (P +1) - передаточная функция датчика;

W_р(P) = ( P + 4)/ (P +2) - передаточная функция регулятора;

W_ИМ(P) = 0,8/ P - передаточная функция исполнительного механизма;

Обратная связь образуется тремя последовательно соединенными звеньями: датчиком, регулятором, исполнительным механизмом. Поэтому для определения передаточной функции цепи обратной связи W_ос (Р) воспользуемся формулой

W_ос (Р) = W_д(P)* W_р(P)* W_ИМ(P).

Подставив выражение для передаточной функции в эту формулу, получим

W_ос (Р) = (4 P + 2)/ (P +1)* ( P + 4)/ (P +2)* 0,8/ P =

(4Р² + 2Р + 16Р + 8)*0,8/(Р² +Р +2Р + 2)*Р = (3,2Р² + 14,4Р + 6,4)/(Р³ + 3Р² +2Р);

W_ос (Р) = * = = ;

W_ос (Р) = (3,2Р² + 14,4Р + 6,4)/(Р³ + 3Р² +2Р);

W_ос (Р) =

Таким образом от четырехзвенной системы можно перейти к двузвенной:

Имеем систему из двух встречно-параллельных соединений звеньев, для которой передаточная функция системы определяется по формуле

W_с (Р) = W_ор(P)/(1 + W_ор(P)* W_ос(P)).

W_ос (Р) =

Подставим сюда все составляющие передаточные функции и преобразуем результирующее выражение.

W_с (Р) = W_ор(P)/(1 + W_ор(P)* W_ос(P)) = 1/Р/(1 + 1/Р *((3,2Р² + 14,4Р + 6,4)/(Р³ + 3Р² +2Р)) = 1/Р *( Р⁴ + 3Р³ +2Р²)/(Р⁴ + 3Р³ + 5,2Р + 14,4Р +6,4);

W_с (Р) = (Р³ + 3Р² +2Р)/( Р⁴ + 3Р³ + 5,2Р² + 14,4Р +6,4);

Для нахождения временной функции переходного процесса необходимо упростить это выражение: исключаем из выражения передаточной функции в числителе члены со степенью, большей одной, а в знаменателе – большей двух.

Таким образом, имеем:

W_пер (Р) = 2Р/(5,2Р² + 14,4Р +6,4);

или после преобразования

W_пер (Р) = 2Р/(5,2(Р² + 2,76Р +1,23) = 0,385Р/(Р² + 2,76Р +1,23);

Для определения переходной функции представим общее выражение в виде двух слагаемых. Эти слагаемые можно получить, если определить корни характеристического уравнения

W_пер (Р) = А/(р-р₁) + В/(р-р₂), (*)

где р₁ и р₂ – значения корней характеристического уравнения.

Для определения корней характеристического уравнения приравниваем нулю знаменатель:

Р² + 2,76Р +1,23 = 0.

Определяем корни квадратного трехчлена по общей формуле

Р = (-2,76 ± √(2,76² – 4*1,23))/2 = (-2,76 ± √(7,62 – 4,92))/2 =

(-2,76 ± √(2,7))/2 = (-2,76 ± 1,64)/2;

Р₁ = - 2,2; р₂ = - 0,56.

Определяем коэффициенты А и В, подставив значение корней р₁ и р₂ в уравнение (*).

А/(р-р₁) + В/(р-р₂) = А/(р + 2,2) + В/(р + 0,56) =

= (А*р + 0,56р + В*р + 2,2р)/(р² + 2,76р + 1,23) =

= ((А + В)*р + 0,56А + 2,2В)/( Р² + 2,76Р +1,23) =

= 0,385Р/(Р² + 2,76Р +1,23);

А + В = 0,385

0,56А + 2,2В = 0.

Решая систему двух уравнений, находим значения А и В.

В = -0,13; А = 0,516.

Для определения функции времени воспользуемся обратным преобразованием Лапласа

А/(р-р₁) = А*exp(+p₁t) B/(р-р₂) = B* exp(+p₂t)

Далее определяем переходную функцию системы, которая определяется выражением

h(t) = А*exp(- 2,2t) + В*exp(-0,56t);

Подставим значения А и В h(t) = 0,516*exp(- 2,2t) – 0,13*exp(-0,56t);

Для построения этой функции рассчитаем характерные точки:

Пусть t = 0, тогда h(t) = 0,516*exp(- 2,2*0) – 0,13*exp(-0,56*0) =

0,516 – 0,13 = 0,386.

Пусть t = 1, тогда h(t) = 0,516*exp(- 2,2*1) – 0,13*exp(-0,56*1) =

Пусть t = 2, тогда h(t) = 0,516*exp(- 2,2*2) – 0,13*exp(-0,56*2) =

h(t) = 0,516/84 – 0,13/2.718 = 0,00637 – 0,043 = - 0,036.

Пусть t = 4, тогда h(t) = 0,516*exp(- 2,2*4) – 0,13*exp(-0,56*4) =

h(t) = 0,516/7056 – 0,13/7.39 = 0,0000732 –0,0176= - 0,0175.

h (t)

Результирующая компонента

1 2 t

По графику определяем время регулирования

t_рег = 1 сек

Коэффициент качества системы по интегральной оценки качества

К = 1/ t_рег *∫ h(t)dt = S/ t_рег = 0,193,

что говорит о хорошем качестве системы.

Исходные данные для расчета

Вариант	Динамическая характеристика ОР	Динамическая характеристика Д	Динамическая характеристика Р	Динамическая характеристика ИМ
1	W(P)= 1/P	W(P)= P/(P+1)	W(P)= P/(P+1)	W(P)=0,1/P
2	W(P) = 2/P	W(P) = (P+2)/(P+1)	W(P)=2P/(P+1)	W(P)=0,2/P
3	W(P) = 3/P	W(P) = (P+3)/(P+1)	W(P)=3P/(P+1)	W(P)=0,3/P
4	W(P) = 4/P	W(P) = (P+4)/(P+1)	W(P)=4P/(P+1)	W(P)=0,4/P
5	W(P) = 5/P	W(P) = (P+5)/(P+1)	W(P)=5P/(P+1)	W(P)=0,5/P
6	W(P) = 6/P	W(P) = (P+6)/(P+1)	W(P)=6P/(P+1)	W(P)=0,6/P
7	W(P) = 7/P	W(P) = (P+7)/(P+1)	W(P)=7P/(P+1)	W(P)=0,7/P
8	W(P) = 8/P	W(P) = (P+8)/(P+1)	W(P)=8P/(P+1)	W(P)=0,8/P
9	W(P) = 9/P	W(P) = (P+9)/(P+1)	W(P)=9P/(P+1)	W(P)=1/P
10	W(P) = 10/P	W(P) = (P+2)/(P+3)	W(P)=2P/(P+2)	W(P)=1,1/P
11	W(P) =11/P	W(P) = (P+2)/(P+4)	W(P)=2P/(P+3)	W(P)=1,2/P
12	W(P) =12/P	W(P) = (P+2)/(P+5)	W(P)=2P/(P+4)	W(P)=1,3/P
13	W(P) =13/P	W(P) = (P+2)/(P+6)	W(P)=2P/(P+5)	W(P)=1,4/P
14	W(P) =14/P	W(P) = (P+2)/(P+7)	W(P)=2P/(P+6)	W(P)=1,5/P
15	W(P) =15/P	W(P) = (P+2)/(P+8)	W(P)=2P/(P+7)	W(P)=1,6/P