Лекція 4. Режими роботи систем управління

Для найбільш повного аналізу роботи систем управління доцільно розглядати її у двох режимах – статичному і динамічному.

Статичний режим роботи системи характеризується тим, що величини, які визначають поведінку системи, не змінюються з часом і система знаходиться в рівноважному стані. Розділ теорії управління, в якому вивчається рівноважний стан, називається статикою. Доречно підкреслити, що поняття “статика системи” і “статичне регулювання” – різні поняття. Перше визначає рівноважний стан системи, друге – процес регулювання, при якому неминуче відхилення регульованої величини від заданої в рівноважному стані. Зі сказаного ясно, що поняття “статика” відноситься як до статичних, так і до астатичних систем управління.

Динамічні режими характеризуються тим, що величини, які визначають поведінку системи, змінюються з часом, тобто динаміка розглядає перехідні процеси.

Введемо поняття “ланка” системи управління, під яким будемо розуміти фізичний елемент системи, його частину або сукупність елементів, що характеризуються з погляду їхніх властивостей у статичних і в динамічних режимах. Одне з найважливіших властивостей ланок – спрямованість їхньої дії. Ця властивість полягає в тому, що зміна величини на вході ланки спричиняє зміну величини на його виході, але не навпаки. Характер функціональної залежності вихідної величини від вхідної визначається статичними і динамічними властивостями ланок.

Залежність вихідної величини ланки від вхідної в рівноважному стані називається статичною характеристикою ланки. У практиці аналізу систем управління широко використовуються як аналітичні, так і графічні уявлення статичних характеристик у вигляді функцій побудованих у рівноважних станах системи.

Статичні характеристики уявних ланок завжди нелінійні, більш того, у ряді випадків їх не можливо описати аналітично. Прикладом такої характеристики є залежність індукції від напруги – крива намагнічування . Проте при спрощеному аналізі багато з ланок систем управління можуть бути описані лінійними залежностями виду:

,

де а і k- постійні величини.

У таких випадках широко використовуються рівняння ланок у приростах вхідних і вихідних величин:

Відношення приросту вихідної величини ланки до збільшення вхідної в рівноважному стані (у статиці) називається коефіцієнтом підсилення, або коефіцієнтом передачі ланки:

(1.8)

Коефіцієнт передачі ланки визначається конструктивними параметрами і грає важливу роль у характеристиці ланки, визначаючи її статичні і динамічні властивості.

Якщо статична характеристика ланки нелінійна, то коефіцієнт передачі k виражається як тангенс кута нахилу дотичної до кривої і буде різним для різних значень вхідної і вихідної величин (мал. 1.13).

При розгляді астатичного регулювання було показано, що при подачі на вхід астатичної ланки приросту вхідної величини вихідна величина цієї ланки необмежено зростає. Дійсно, якщо мал. 1.12 у рівноважному стані системи відключити обмотку електромагніта ЕМ від тахогенератора і дати приріст напруги на вході цієї обмотки, то кут повороту вала двигуна буде безупинно зростати. З сказаного очевидно, що вираз (1.8) не підходить для визначення поняття коефіцієнта передачі астатичної ланки. Коефіцієнтом передачі (посилення) астатичної ланки називається відношення швидкості зміни вихідної величини до збільшення вхідної величини в сталому стані.

У ряді випадків сталого стану не має не тільки вихідна величина астатичної ланки, але і її перша, друга і т.д. похідні. У таких випадках статичні характеристики астатичних ланок будуються як залежності від вхідної величини другої, третьої і т.д. похідних вихідної величини. Самі астатичні ланки в цих випадках називаються ланками з астатизмом другого, третього і т.д. порядку.

Статичні характеристики окремих ланок або задаються як характеристики фізичних елементів, або можуть бути легко побудовані по паспортним даним елементів системи. Проте для аналізу властивостей системи управління необхідно мати на тільки статичні характеристики окремих ланок, але і статичну характеристику всієї системи. У теорії автоматичного управління розроблені

різноманітні методи і прийоми побудови статичних характеристик САУ на основі статичних характеристик окремих ланок, що утворюють систему. При цьому під статичною характеристикою розімкненої системи розуміється залежність вихідної величини від вхідної в рівноважному стані, а під статичною характеристикою замкненої системи розуміється залежність регульованої величини від впливу, що збурює, у рівноважному стані.

У більшості випадків аналізу САУ становлять інтерес режими роботи замкненої, а не розімкненої системи. У зв’язку з цим розглянемо загальний метод побудови статичної характеристики замкненої системи. Для реалізації методу необхідно замкнену систему представити як одноконтурну (мал. 1.14), що складається з двох частин: , що об’єднує всі ланки системи, які знаходяться між збурюючим впливом і регульованою величиною. При цьому береться до уваги відзначена раніше властивість спрямованості ланок САУ. Величина на мал. 1.14 означає задане значення регульованої величини.

Залежність та будуються на підставі статичних характеристик ланок, що утворюють частини системи та відповідно. Задача зводиться до побудови залежності - статичної характеристики замкненої системи. Запишемо рівняння статики системи, що аналізується:

; ; ;

Виключаючи з цих рівнянь проміжні величини, можна знайти залежність . При цьому у випадку лінійних систем неважко одержати аналітичну залежність статичної характеристики . Дійсно, для лінійної системи маємо:

; ; ;

де та - коефіцієнти передачі частин системи і відповідно. Виключаючи із написаних рівнянь проміжні змінні, одержимо рівняння статичної характеристики аналізованої системи:

(1.9)

де - коефіцієнти передачі розімкненої системи.

Аналіз виразу (1.9) показує, що точність регулювання підвищується зі збільшенням коефіцієнта передачі розімкненої системи. Дійсно, чим вище значення k, тим менше значення відрізняється від . Але слід підкреслити, що збільшення k із метою підвищення точності системи повинно відбуватися за рахунок підвищення коефіцієнта а не , тому що тільки в цьому випадку у виразі (1.9) зменшується вплив другого доданку, що визначає збурюючий вплив на значення регульованої величини. Нарешті, надмірне збільшення коефіцієнта передачі розімкненої системи може призвести до порушення усталеності системи в динамічних режимах роботи, що буде розглянуто нижче.

Визначення точності регулювання є головною задачею аналізів статичних режимів САУ. Точність САУ визначається статичною похибкою регулювання , під якою розуміється різниця між заданим значенням регульованої величини і її дійсним значенням х у сталому стані: . Відношення статичної похибки до номінального значення регульованої величини називається статизмом регулювання: .

З розгляду процесу управління в замкнутій системі очевидно, що статична похибка в неї буде меншою, ніж у розімкнутій системі. Дійсно, зменшення вихідної величини в замкнутій системі спричинить за собою збільшення регулюючого впливу, спрямованого на відновлення вихідної величини, тобто на зменшення статичної похибки. Не зупиняючись на більш докладному обґрунтуванні, приведемо співвідношення між похибкою регулювання в розімкнутій системі і похибкою в замкнутій системі :

, (1.10)

де k- коефіцієнт підсилення розімкнутої системи.

Як очевидно з викладеного, аналіз статичних режимів САУ базується на аналізі алгебраїчних рівнянь статики і зводяться, у кінцевому рахунку, до визначення статичної похибки. Не являючись сам по собі складним, статичний розрахунок САУ грає дуже важливу роль. Якщо параметри системи, обумовлені в результаті статичного розрахунку, будуть обрані не вірно, то наступні динамічні розрахунки САУ, являючись більш трудомісткими, між статичні, стануть даремними.

Динамічні режими САУ аналізуються на основі диференціальних рівнянь, що описують перехідні процеси в елементах і системах. Динамічні властивості САУ оцінюються по кількісних показниках перехідних процесів у системі, обумовлених деякими типовими збурюючими впливами, що прикладаються до системи. Характер впливового впливу вибирається з таких розумінь. По-перше, цей вплив повинен у максимальному ступені відбивати реальні збурення, можливі в проектованій системі. По-друге, цей вплив повинен бути порівняно легко відтворюваним як при теоретичному, так і при експериментальному дослідженні. По-третє, кількісні показники перехідних процесів, обумовлених типовими впливами, повинні легко перераховуватись в показники перехідних процесів, обумовлених збуренням будь-якого характеру. Таким вимогам в значній мірі відповідає типовий вплив у вигляді миттєвого стрибка вхідної величини – одиничного стрибка. Дійсно, одиничний вплив на вході у великій мірі відбиває процеси пуску і гальмування в реальній системі і легко реалізується як аналітично, так і експериментально.

Показники динаміки САУ визначаються за формулою залежності при подачі на вхід одиничного стрибка (мал. 1.15). До числа головних

показники динамічних режимів САУ відносяться усталеність, час перехідного процесу, перерегулювання, коливальність, середньоквадратична похибка, тощо.

Усталеністю називається спроможність системи управління, виведеної з рівноважного стану, з часом повернутися знову в рівноважний стан. Крива 1 на мил. 1.15 характеризує стійку систему, а крива 2 – нестійку. Усталеність – головна вимога, пред’явлена до САУ, тому що нестійка система непрацездатна і повинна бути стабілізована. Стабілізація САУ досягається відповідною зміною її параметрів без шкоди для головного призначення системи, покликаної виконувати визначені функції. Докладніше питання аналізу САУ на усталеність освітлені нижче.

Часом перехідного процесу у САУ називається час, що відраховується від початку прикладання впливу, протягом якого регульована величина досягає значення, що відрізняється від сталого в заданих межах. На мал. 1.15 знаком позначена припустима статична похибка регулювання.

Перерегулюванням називається максимальне відхилення регульованої величини від сталого значення. Звичайно ця величина виражається в процентах від сталого значення регульованої величини:

коливальність визначається числом переходів регульованої величини через стале значення (числом коливань) протягом часу . При >2 перехідний процес визначається як коливальний, при =0 – як процес без перерегулювання (криві 3 і 4). Якщо =0 величина , то перехідний процес характеризується як монотонний (крива 3 на мал. 1.5)

Середньоквадратична похибка визначається як додатний квадратний корінь:

,

де і - бажане і фактичне значення вихідної величини; М- символ математичного чекання.

Середньоквадратична похибка дозволяє оцінити динамічну точність системи.

Перераховані показники динамічних режимів САУ часто називають показниками якості системи. Значення цих показників містяться у завданні на проектування системи управління.