21).Побудова квадратурних формул для чисельного інтегрування за допомогою методу невизначених коефіцієнтів.
. В залежності від того які ми накладаємо умови на величини і , можна побудувати різні типи квадратурних формул. Якщо ми накладаємо умову, що всі вузли є рівновіддаленими з кроком , а значення ваг шукатимемо з умови, що квадратурна формула була точною для алгебраїчних многочленів якомога вищої степені, то отримаємо формули Ньютона-Котеса.
Розглянемо випадок трьох вузлів .
Накладаємо
умову, то формула має бути точною для
многочленів
.
Отримаємо систему лінійних алгебраїчних
рівнянь для знаходження коефіцієнтів
:
Знаходимо,
що
,
,
.
Ми вивели формулу Сімпсона.
Відмітимо деякі загальні властивості квадратурних формул Ньютона-Котеса. Для коефіцієнтів справедливі наступні співвідношення
1.
.
2.
3.
Коефіцієнтами
не є знаковизначеними при рості
,
що впливає на стійкість сумування при
.
4.
Формули Ньютона - Котеса для
вузла (
-парне),
що відповідає відрізку інтегрування
(
)
є точними для многочленів степені
.
Квадратурні формули, що відповідають
і
є точними для многочленів однакової
степені.
22). Точність квадратурних формул для чисельного інтегрування.
використаємо розклад функції в ряд Тейлора з залишковим членом в інтегральній формі.
Також використаємо узагальнену теорему про середнє
,
де
Оцінимо для прикладу точність формули Сімпсона.
Якщо
функція
є первісною до функції
,
то
Знаходимо:
Отримаємо:
Врахуємо,
що
Знаходимо:
Точність квадратурної формули:
23). Складові квадратурні формули.
Розглянемо метод
побудови складової квадратурної формули
на прикладі складової формули Сімпсона.
Розіб’ємо відрізок інтегрування
на
однакових відрізків (
- парне). Довжина кожного відрізка
.
Врахувавши властивості означених
інтегралів, представимо вираз для
обчислення інтегралу у вигляді суми
.
Для обчислення
кожного інтегралу
застосуємо квадратурну формулу
Сімпсона
. Виконавши
сумування, отримаємо складову формулу
Сімпсона
,
де
.
Отримаємо вираз оцінки точності
складової формули Сімпсона. Позначимо
залишковий член в квадратурній формулі
Сімпсона для обчислення інтегралу
як
.
Очевидно, що залишковий член складової
формули Сімпсона можна записати як
де
.
Використавши теорему про середнє,
отримаємо
де
.
Як бачимо складова формула Сімпсона
має 4 порядок точності.
24). Методи Рунге-Ромберга покращення точності квадратурних формул.
Точність кваадратурної
формули визначається залишковим членом,
який в загальному випадку можна записати
як
,
де
-порядок
квадратурної формули. Нехай
- точне значення інтегралу, а
- наближене значення інтегралу обчислене
за допомогою деякої складової квадратурної
формули з кроком
.
В цьому випадку ми можемо записати:
.
Обчислимо по цій
самій формулі наближене значення
інтегралу з кроком
:
.Знайшовши
з цих двох рівнянь вираз для невідомого
залишкового члена, отримаємо уточнене
значення інтегралу, порядок точності
якого складає
:
25). Методи Ейткена покращення точності квадратурних формул.
МетодЕйткенаприскореннязбіжності.
Припустимо,що
якийсьітераційнийметодмаєлінійнузбіжність,тобто:
Числаa,
q,
x,
заздалегідь невідомі,алеїх
можназнайти,використовуючи
трипослідовніітерації
.
Складеморівняння:
,
,
(тутрівностітребарозумітияк наближені), з яких знайдемо
,
,
Метод Ейткенаприскореннязбіжностіполягаєв тому,щопісля обчислення проводитьсяперерахунокза формулою
і
значення
,приймаєтьсязанове
наближення.
Якбирівність
(1)виконувалосяточно,то
співпалоб
зточнимзначеннямх.Узагальному випадку
дає
кращенаближення до
,
ніж черговаітерація
.Підкреслимо,що
головнимприпущеннямтутє
вимогалінійноїзбіжностіосновногоітераційногометоду.У
випадкуметодів,
що мають більш високушвидкістьзбіжності
(наприклад
методуНьютона),
прискорення поЕйткенув
формі (2) є
неефективним.
На практиці не обов'язково проводити перерахунок за формулою (2) на кожній ітерації k. Натомість вживають методи, в яких та-такий перерахунок здійснюється циклічно, тобто через певне число основних ітерацій. За допомогою методу Ейткена на основі відомих ітераційних методів можна отримати іноді нові ітераційні методи, яким властива висока збіжність.