12). Локальне згладжування експериментальних даних.

Метод найменших квадратів можна використовувати для згладжування похибки даних про значення функції в вузлах сітки. Розглянемо випадок рівномірної сітки і припустимо, що функція f(x) апроксимується многочленом степеня n. Для знаходження уточненого значення , виберемо відносно точки і симетрично по обидві сторони k вузлів (k парне). Будуємо методом найменших квадратів апроксимуючий многочлен степеня . З його допомогою ми можемо знайти уточнене значення .

Розглянемо випадок і . Отримаємо:

Запишемо систему для знаходження коефіцієнтів

,

де

Врахуємо, що . Отримаємо:

Розв’яжемо систему рівнянь. Знаходимо:

Таким чином:

Апроксимуюча функція

13). Побудова формул для чисельного диференціювання х використанням інтерполяційних многочленів Ньютона.

Наближено приймається, що похідну -порядку ми наближено можемо знайти використовуючи формулу:

де - дека апроксимуюча функція. У випадку, коли ми апроксимуємо функцію інтерполяційним многочленом Ньютона

Ми ввели позначення

Виконавши диференціювання алгебраїчних многочленів, отримаємо вирази для апроксимації похідних

Аналогічно ми можемо отримати вирази для апроксимації похідних вищих порядків. В залежності від того на якому числі ми обриваємо ряд, отримаємо різного виду вирази для апроксимації похідної. Найпоширеніші вирази мають вигляд:

В загальному випадку найпростіший вираз для апроксимації похідної довільного порядку має вигляд:

Точність отриманих виразів визначається величиною першого відкинутого члена. Нехай для апроксимації похідної ми використовуємо вузли . Тоді перший відкинутий член являє собою добуток розділеної різниці на суму різних добутків множників , де кожний добуток містить множників. Величина залишкового члена, що визначає точність апроксимації

Для рівномірної сітки

Отримаємо

Ми бачимо, що порядок точності отриманої формули рівний числу вузлів мінус порядок похідної. Для обчислення к-ї похідної мінімально необхідно вузол.

Слід врахувати, що для побудови інтерполяційних многочленів недоцільно використовувати більше 46 вузлів. Тому чисельним диференціювання практично можна визначити першу та другу похідну. Третю та четверту похідну можна визначити тільки задовільно.

Досить часто для апроксимації похідних використовують рівномірну сітку. Можна показати, якщо вибрано симетрично відносно вузлів сітки, то точність апроксимації підвищується.

Отримаємо

Можна записати формули для похідної в середній точці інтервалу

14). Метод невизначених коефіцієнтів отримання формул для чисельного диференціювання.

Розглянемо метод невизначених коефіцієнтів для апроксимації похідних. Нехай нам задано значення функції в вузлах х₀, х₁,...х_n. Шукаємо вираз для апроксимації похідної в вузлі і у вигляді лінійної комбінації значень функції в вузлах:

(16)

Накладаємо умову що дана формула є точною для многочленів:

y=1, x-x_i, (x-x_i)²,…, (x-x_i)ⁿ (17)

Підставляючи ці вирази в (16), отримаємо систему (n+1) лінійних рівнянь для визначення невизначених коефіцієнтів l₀, l₁,…,l_n.

Розглянемо для прикладу випадок чотирьох рівновіддалених вузлів (n=3):

,

y=1, x-x₂, (x-x₂)², (x-x₂)³,

y’=0, 1, 2(x-x₂), 3(x-x₂)²,

Отримаємо систему рівнянь:

Знаходимо значення коефіцієнтів:

Отримаємо вираз для апроксимації похідної: