Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Поверхности 2-го порядка.doc

Скачиваний:

Добавлен:

17.07.2019

Размер:

1.04 Mб

Скачать

☆

11.3. Поверхности второго порядка

11.3.1. Классификация поверхностей второго порядка

Алгебраической поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек пространства, которое в какой-либо аффинной системе координат может быть задано уравнением вида

где старшие коэффициенты , , , , , не равны нулю одновременно. Без ограничения общности можно считать, что система координат, в которой задано уравнение поверхности второго порядка, прямоугольная. Для каждой поверхности второго порядка существует прямоугольная система координат , в которой уравнение принимает наиболее простой (канонический) вид. Она называется канонической, а уравнение – каноническим.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

1. – уравнение эллипсоида;

2. – уравнение мнимого эллипсоида;

3. – уравнение мнимого конуса;

4. – уравнение однополостного

гиперболоида;

5. – уравнение двуполостного

гиперболоида;

6. – уравнение конуса;

7. – уравнение эллиптического

параболоида;

8. – уравнение гиперболического

параболоида;

9. – уравнение эллиптического

цилиндра;

10. – уравнение мнимого

эллиптического цилиндра;

11. – уравнение пары мнимых

пересекающихся плоскостей;

1 2. – уравнение гиперболического

цилиндра;

13. – уравнение пары пересекающихся

плоскостей;

14. – уравнение параболического

цилиндра;

15. – уравнение пары параллельных

плоскостей;

16. – уравнение пары мнимых

параллельных плоскостей;

17. – уравнение пары совпадающих

плоскостей.

В этих уравнениях , , , , причем в уравнениях п.1–3; в уравнениях п.4–7,9–11.

Поверхности (1),(4)–(9), (12)–(15),(17) называются вещественными (действительными), а поверхности (2),(3),(10),(11),(16) – мнимыми. Вещественные поверхности изображены в канонических системах координат. Изображения мнимых поверхностей даются штриховыми линиями только для иллюстрации.

Поверхность второго порядка называется центральной, если она имеет единственный центр (симметрии). В противном случае, если центр отсутствует или не является единственным, поверхность называется нецентральной. К центральным поверхностям относятся эллипсоиды (вещественный и мнимый), гиперболоиды (однополостный и двуполостный), конусы (вещественный и мнимый). Остальные поверхности – нецентральные.

Алгоритм составления канонического уравнения поверхности второго порядка

Пусть в прямоугольной системе координат поверхность второго порядка описывается уравнением

Требуется определить ее название и составить каноническое уравнение. Для этого нужно выполнить следующие действия:

1. Вычислить ортогональные инварианты

, ,

, .

Если , то вычислить семиинвариант

Если и , то вычислить семиинвариант

2. По табл. 11.1 определить название поверхности, а по названию –каноническое уравнение поверхности второго порядка.

3. Составить характеристическое уравнение ,

используя коэффициенты, вычисленные в п.1, либо разлагая определитель

Найти корни , , (с учетом кратности) характеристического уравнения.

4. Занумеровать корни , , характеристического уравнения в соответствии с правилами:

а) если поверхность эллиптического типа, то ;

б) если поверхность гиперболического типа, то обозначить через и корни одного знака так, чтобы , а через – корень противоположного знака;

в) если поверхность параболического типа, то

– если нулевой корень двойной, то и ;

– если нулевой корень простой, а ненулевые корни одного знака, то и ;

– если нулевой корень простой, а ненулевые корни разных знаков, то и либо , если или , либо , если и .

5. Вычислить коэффициенты канонического уравнения и записать его в канонической системе координат :

а) для поверхностей эллиптического типа:

(1) – при – уравнение эллипсоида с коэффициентами , , ;

Таблица 11.1. Классификация поверхностей второго порядка

	Признаки		Название поверхности	№
Центральные поверхности		Эллиптический тип	Эллипсоид	1
			Мнимый эллипсоид	2
			Мнимый конус	3
		Гиперболический тип	Однополостный гиперболоид	4
			Двуполостный гиперболоид	5
			Конус	6
Нецентральные поверхности		Параболический тип	Эллиптический параболоид	7
			Гиперболический параболоид	8
			Эллиптический цилиндр	9
			Мнимый эллиптический цилиндр	10
			Пара мнимых пересекающихся плоскостей	11
			Гиперболический цилиндр	12
			Пара пересекающихся плоскостей	13
			Параболический цилиндр	14
			Пара параллельных плоскостей	15
			Пара мнимых параллельных плоскостей	16
			Пара совпадающих плоскостей	17

(2) при – уравнение мнимого эллипсоида с коэффициентами , , ;

(3) при – уравнение мнимого конуса с коэффициентами , , ;

б) для поверхностей гиперболического типа:

(4) при – уравнение однополостного гиперболоида с коэффициентами , , ;

(5) при – уравнение двуполостного гиперболоида с коэффициентами , , ;

(6) при – уравнение конуса с коэффициентами , , ;

в) для поверхностей параболического типа:

(7) при – уравнение эллиптического параболоида с коэффициентами , ;

(8) при – уравнение гиперболического параболоида с коэффициентами , ;

(9) при , , – уравнение эллиптического цилиндра с коэффициентами , ;

(10) при , , – уравнение мнимого эллиптического цилиндра с коэффициентами , ;

(11) при , , – уравнение пары мнимых пересекающихся плоскостей с коэффициентами , ;

(12) при , , – уравнение гиперболического цилиндра с коэффициентами , ;

(13) при , , – уравнение пары пересекающихся плоскостей с коэффициентами , ;

(14) при , , – уравнение параболического цилиндра с коэффициентом ;

(15) при , , , – уравнение пары параллельных плоскостей с коэффициентом ;

(16) при , , , – уравнение пары мнимых параллельных плоскостей с коэффициентом ;

(17) при , , , – уравнение пары совпадающих плоскостей .

Пример 11.10. Определить названия и составить канонические уравнения алгебраических поверхностей второго порядка, заданных в прямоугольной системе координат уравнениями:

а) ;

б) при , или ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) при или ;

ж) ;

з) ;

и) .

 а) Определяем коэффициенты уравнения: , , , , , , , , , .

1. Вычисляем инварианты: ,

, ,

2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает эллипсоид, так как , , .

3. Составляем характеристическое уравнение

и находим его корни: (двойной корень), (простой корень).

4. Поскольку поверхность эллиптического типа, то корни уравнения обозначим , , чтобы выполнялось условие

5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения эллипсоида:

, , .

Таким образом, каноническое уравнение (1) заданной поверхности имеет вид

б) Определяем коэффициенты уравнения: , , , , , , , , .

1. Вычисляем инварианты: ,

2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает поверхность гиперболического типа, так как . При получаем уравнение однополостного гиперболоида, так как , при – уравнение конуса, так как , при – уравнение двуполостного гиперболоида, так как .

3. Составляем характеристическое уравнение

и находим его корни: , , (все корни простые).

4. Поскольку поверхность гиперболического типа, то корни уравнения обозначим , , т.е. и корни одного знака, причем , а – корень противоположного знака.

5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения:

– однополостного гиперболоида (при ):

, , ,

следовательно, каноническое уравнение (4) имеет вид

;

– конуса (при ):

, , ;

следовательно, каноническое уравнение (6) имеет вид

;

– двуполостного гиперболоида (при ):

, , ;

следовательно, каноническое уравнение (5) имеет вид

в) Определяем коэффициенты уравнения: , , , , , , , , , .

1. Вычисляем инварианты: ,

, ,

2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает эллиптический параболоид, так как , .

3. Составляем характеристическое уравнение

и находим его корни: (двойной корень), (простой корень).

4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни уравнения обозначим следующим образом: – единственный нулевой корень; так как ненулевые корни одного знака, то , чтобы выполнялось условие .

5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения эллиптического параболоида:

, .

Таким образом, каноническое уравнение (7) заданной поверхности имеет вид

г) Определяем коэффициенты уравнения: , , , , , , , , , .

1. Вычисляем инварианты: ,

2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает гиперболический параболоид, так как , .

3. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни: , , (все корни простые).

4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни характеристического уравнения обозначим следующим образом: – единственный нулевой корень; так как ненулевые корни разных знаков и , то , тогда .

5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения гиперболического параболоида:

, .

Таким образом, каноническое уравнение (8) заданной поверхности имеет вид

д) Определяем коэффициенты уравнения: , , , , , , , , , .

1. Вычисляем инварианты: ,

, .

Так как , то вычисляем семиинвариант:

2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает эллиптический цилиндр, так как , , , .

3. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни: , , (все корни простые).

4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни уравнения обозначим следующим образом: – единственный нулевой корень; так как ненулевые корни одного знака, то , , чтобы выполнялось условие .

5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения эллиптического цилиндра:

, .

Таким образом, каноническое уравнение (9) заданной поверхности имеет вид

е) Определяем коэффициенты уравнения: , , , , , , , , .

1. Вычисляем инварианты: ,

, .

Так как , то вычисляем семиинвариант:

2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает поверхность параболического типа, так как . При получаем уравнение гиперболического цилиндра, так как , , ; при – уравнение пары пересекающихся плоскостей, так как , , .