- •СОДЕРЖАНИЕ
- •ЛЕКЦИЯ 1
- •Введение
- •Основные понятия
- •Аксиомы теории вероятностей
- •Непосредственный подсчет вероятностей
- •Основные комбинаторные формулы
- •ЛЕКЦИЯ 2
- •Геометрическое определение вероятностей
- •Теоремы сложения вероятностей
- •Тогда на основании второй аксиомы
- •Условная вероятность
- •Зависимые и независимые события
- •Теоремы умножения вероятностей
- •Вероятность безотказной работы сети
- •ЛЕКЦИЯ 3
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса
- •Теорема о повторении опытов
- •Функция распределения
- •Ряд распределения
- •Плотность распределения
- •ЛЕКЦИЯ 5
- •Числовые характеристики случайной величины
- •ЛЕКЦИЯ 6
- •Типовые законы распределения
- •ЛЕКЦИЯ 7
- •Функции одного случайного аргумента
- •Закон распределения функции случайного аргумента
- •Числовые характеристики функции случайного аргумента
- •Характеристическая функция случайной величины
- •Двухмерная функция распределения
- •Матрица распределения
- •Двухмерная плотность распределения
- •Зависимые и независимые случайные величины
- •Условные законы распределения
- •ЛЕКЦИЯ 9
- •Числовые характеристики двухмерных величин
- •Условные числовые характеристики
- •ЛЕКЦИЯ 10
- •Нормальный закон распределения на плоскости
- •Закон распределения функции двух случайных величин
- •Многомерные случайные величины
- •Числовые характеристики суммы случайных величин
- •Числовые характеристики произведения случайных величин
- •ЛЕКЦИЯ 12
- •Закон больших чисел
- •Центральная предельная теорема
- •ЛЕКЦИЯ 13
- •Математическая статистика. Основные понятия
- •Оценка закона распределения
- •ЛЕКЦИЯ 14
- •Точечные оценки числовых характеристик
- •Оценка параметров распределения
- •Интервальные оценки числовых характеристик
- •ЛЕКЦИЯ 15
- •Проверка статистических гипотез
- •Критерии согласия
- •Статистические критерии двухмерных случайных величин
- •ЛЕКЦИЯ 17
- •Оценка регрессионных характеристик
- •Метод наименьших квадратов
- •ЛИТЕРАТУРА
|
1 |
+ R* |
|
zγ |
; b = 0, 5 |
|
1 + R* |
|
zγ |
|
||||
где a = 0,5 ln |
|
|
|
|
XY |
|
− |
|
ln |
XY |
+ |
|
; |
|
1 |
− |
* |
n −3 |
* |
n − 3 |
|||||||||
|
RXY |
|
|
|
1 − RXY |
|
|
|||||||
zγ = arg Φ(γ |
|
) |
– значение аргумента функции Лапласа, т.е. Ф(zγ) = γ . |
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
Статистические критерии двухмерных случайных величин |
||||||||||||||
Гипотеза |
|
|
об |
|
отсутствии |
корреляционной |
зависимости. |
Предполагается, что двухмерная случайная величина (X, Y) распределена по нормальному закону. Алгоритм проверки следующий.
1. Формулируется гипотеза:
H0: R H1: R
XY = 0 ; XY ≠ 0 .
Здесь R XY – теоретический коэффициент корреляции.
2.Вычисляется оценка коэффициента корреляции R*XY по формуле (16.6)
3.Если объем выборки не велик ( n < 50 ), определяется значение критерия
t = |
R X* |
Y |
n − 2 |
|
|
|
1 − |
(R X* Y )2 , |
(16.8) |
||||
|
который распределен по закону Стьюдента с (n-2) степенями свободы, если гипотеза H0 верна.
4. По заданному уровню значимости α вычисляется доверительная
вероятность |
γ =1−α и |
|
из |
таблицы Стьюдента выбирается критическое |
|||||
значение tγ , n − 2 . |
|
|
|
||||||
5. Если |
|
t |
|
> |
|
tγ , n − 2 |
|
, то |
гипотеза H отклоняется, а следовательно, |
|
|
|
|
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величины X, Y коррелированы. В противном случае гипотеза H0 принимается.
3*. Если объем выборки велик (n > 50 ), то определяется значение критерия
Z = |
R X* |
Y n |
|
|
|
1 − |
(R X* Y )2 , |
(16.9) |
|||
|
который распределен практически по нормальному закону, если гипотеза H0 верна.
4*. По заданному уровню значимости α из таблицы функции Лапласа
определяется критическое значение Zα |
|
1 − α |
|
Φ(Zα ) = |
1−α |
|
|||||||||
= arg Φ |
|
, т.е. |
|
. |
|||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5*. Если |
|
Z |
|
> |
|
Z α |
|
, то гипотеза H отклоняется, |
а следовательно, |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
величины X, Y коррелированы. В противном случае гипотеза H0 принимается. |
t-критерий. t-критерий служит для сравнения двух средних значений из нормально распределенных генеральных совокупностей в предположении, что дисперсии σX и σY равны, хотя и неизвестны. Таким образом, проверяемая
гипотеза Н0 утверждает, что mX = mY. Пусть {x1, x2 ,..., xn1 } ,{y1, y2,..., yn2 } – независимые случайные выборки из обеих генеральных совокупностей; в общем случае они могут иметь совершенно разные объемы. В качестве критерия используем величину
T = |
|
|
x − y |
|
|
n1n2 |
(n1 + n2 |
−2) |
. |
(16.10) |
(n |
−1)S 2 |
(x) + (n |
−1)S 2 |
( y) |
n1 + n2 |
|
||||
|
|
|
|
|||||||
1 |
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
При сделанных предпосылках (нормальная распределенность X и Y и равенство дисперсий) и в предположении, что гипотеза Н0 верна, величина Т
удовлетворяет распределению Стьюдента с k = n1 +n2 −2 степенями свободы. Поэтому критическая область может быть установлена следующим образом. Для заданного уровня значимости α по таблице распределения
Стьюдента определяем значение t1−α,n−1. Если вычисленное (согласно (16.10)) значение T удовлетворяет неравенству T > t1−α,n−1 , то гипотезу Н0 отвергают.
По отношению к предпосылке «нормальной распределенности» t-критерий не очень чувствителен. Его можно применять, если статистические распределения обеих выборок не имеют нескольких вершин (т.е. унимодальные) и не слишком ассиметричны. Предпосылка σX = σY во многих случаях может быть обоснована на содержательном уровне; а гипотезу σX = σY можно проверить по F-критерию (см. ниже).
F-критерий. Гипотезы о дисперсии имеют в технике большое значение, так как σ X2 есть мера таких характеристик, как точность машин, ошибки измерительных приборов, точность технологических процессов и т. п.
F-критерий служит для проверки гипотезы о равенстве дисперсий при условии, что X и Y распределены нормально. Проверяемая гипотеза Н0 утверждает, что σX = σY . Из каждой генеральной совокупности производятся выборки объема n1 и n2. В качестве критерия используем величину
F = |
S 2 (x) |
, или F = |
S 2 ( y) |
, . |
|
||
0 |
|
0 |
|
(16.11) |
|||
2 |
( y) |
2 |
(x) |
||||
|
S0 |
|
S0 |
|
|
причем, большую дисперсию выбирают в качестве числителя.
Величина F удовлетворяет F-распределению с (n1 -1, n2 -1) степенями свободы. Критическая область выбирается следующим образом. Для уровня значимости α по таблице F-распределения определяем критическое значение
Fα / 2;n1 −1,n2 −1 . Если F, вычисленное по выборке, больше, чем это критическое
значениеFα / 2;n1 −1,n2 −1 , то гипотеза Н0 должна быть отклонена.
Критерий Уилкоксона. Данный критерий служит для проверки, относятся ли две выборки к одной и той же генеральной совокупности; другими словами, гипотеза Н0 утверждает, что FX (x) ≡FY (y). Относительно закона
распределений величин X и Y никаких предположений не делается. Способы проверки, при которых не делается предположений о распределении в генеральной совокупности, называются способами, свободными от параметров, в противоположность рассматривавшимся выше параметрическим критериям, в
которых предполагалась нормальная |
распределенность X и Y. |
Значения |
|||||
{x1, x2 |
,..., xn } |
и |
{y1, y2 |
,..., yn } |
обеих |
выборок упорядочиваются |
вместе в |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
порядке их возрастания. Пара значений (хi yj;) образует инверсию, если yj < хi . Пусть, например, для n1 = 4 и n2 = 5 получилась такая последовательность: y5 x3 x4 y1 y2 x2 y4 y3 x1 . В нашем примере x3 и x4 образуют по одной инверсии (с y5), x2 образует три инверсии (с y5 y1 y2), а x1 образует пять инверсий (со всеми у).
В качестве критерия используется величина U – полное число инверсий. Если гипотеза верна, значение U не должно слишком сильно отклоняться от
своего математического ожидания M U = n12n2 . Данная величина распределена
по закону Уилкоксона и от гипотезы Н0 отказываются, если U больше критического значения Uα, взятого из таблицы Уилкоксона для заданного
уровня значимости α. Для больших объемов выборки (n1 |
и n2 больше 25) |
||||||
критическое значение Uα определяется по формуле |
|
|
|||||
|
|
|
U α = Z α |
n1 n2 (n1 + n2 |
+ 1) |
, |
(16.12) |
|
|
|
12 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−α |
- значение аргумента функции Лапласа, т.е. Φ(Zα ) = 1−α |
|||||
где Zα = arg Φ |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |