Добавил:

Natusik Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московская финансово-юридическая академия

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Теория вероятностей Волковец.pdf

Скачиваний:

207

Добавлен:

17.04.2014

Размер:

789 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2218 19 20 21 22 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 14

Точечные оценки числовых характеристик

Статистической оценкой Q параметра Q распределения называется

приближенное значение параметра, вычисленное по результатам эксперимента (по выборке). Статистические оценки делятся на точечные и интервальные.

Точечной называется оценка, определяемая одним числом. Точечная

оценка Q параметра Q случайной величины X в общем случае равна

ˆ	, x2	,..., xn ) ,	(14.1)
Q =ϕ(x1

где xi – значения выборки.

Очевидно, что оценка Q – это случайная величина, так как она является функцией от n-мерной случайной величины (X1, X2, …, Xn), где Хi – значение

величины Х в i-м опыте, и значения Q будут изменяться от выборки к выборке случайным образом. К оценкам предъявляется ряд требований.

1. Оценка Q называется состоятельной, если при увеличении объема выборки n она сходится по вероятности к значению параметра Q:

ˆ	p		ˆ	< ε)) =1,	ε > 0 .	(14.2)
ˆ	p		ˆ
Q →Q lim(P(			Q −Q
	n→∞	n→∞
		n→∞

Состоятельность – это минимальное требование к оценкам.

2. Оценка Q называется несмещенной, если ее математическое ожидание

точно равно параметру Q для любого объема выборки:
M [ Qˆ ] = Q , n .				(14.3)
Несмещенная оценка является состоятельной, если	lim	D	ˆ	= 0.
Несмещенная оценка является состоятельной, если	lim	D	Q	= 0.
	n → ∞

3. Несмещенная оценка ˆ является эффективной, если ее дисперсия

минимальна по отношению к дисперсии любой другой оценки этого параметра:

ˆ	= min .	(14.4)
D Q

Оценка математического ожидания. На основании теоремы Чебышева в качестве состоятельной оценки математического ожидания может быть использовано среднее арифметическое значений выборки x , называемое выборочным средним:

m *X	= x =	1 ∑n	xi .
		n i =1

Определим числовые характеристики оценки x.

	1	n	1	n	1	n
M [x ] = M [		∑Xi ] =		∑M [ Xi ] =		∑mX
	n		n
		i=1		i=1	n i=1

т.е. оценка несмещенная.

	1	n	1	n	1	n
D[x ] = D[		∑Xi ] =		∑D[ Xi ] =		∑DX
			2		2
	n i=1		n	i=1	n	i=1

=mX ,

=1n DX .

(14.5)

(14.6)

Оценка (14.5) является эффективной, т.е. ее дисперсия минимальна, если величина X распределена по нормальному закону.

Состоятельная оценка начального момента k-го порядка определяется по формуле

	1	n
αˆk ( x) =	1	∑(xi )k .	(14.7)
	n	i=1

Оценка дисперсии. В качестве состоятельной оценки дисперсии может быть использовано среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего:

	1	n	1	n
S 2 =	1	∑ (xi − x )2 =	1	∑ xi2 − ( x )2 .	(14.8)
	n	i =1	n	i =1

Определим математическое ожидание оценки S2. Так как дисперсия не зависит от того, где выбрать начало координат, выберем его в точке mX, т.е. перейдем к центрированным величинам:

n −1

o 2

M [S

] = M [

∑ X i

−

∑ X i

] = M [

∑ X i

−

∑ X i X j ] =

i =1

i< j

n −1

∑ M [ X i2 ] −

∑ M [ X i X j ] =

n −

∑ DX −

∑ Kij = n −1 DX .

i =1

i< j

i =1

i< j

Ковариация

Kij =0

так

как

опыты,

следовательно,

Хi

− значение

величины Х в i-м опыте − независимы. Таким образом, величина S 2 является смещенной оценкой дисперсии, а несмещенная состоятельная оценка дисперсии равна:

S02 =

2 =

∑(xi −x )2 =

∑xi2 −

x2.

n −1

i=1

n −1 i=1

Дисперсия величины S 02 равна:

D[S 02 ]

µ 4

−

n − 3

D 2 .

n(n − 1)

(14.9)

(14.10)

Для нормального закона распределения величины X формула (14.10) примет вид

D [ S 02 ] =	2	D 2 ,	(14.11)
	(n − 1)

для равномерного закона распределения –

D[S 02 ] ≈	0.8n + 1.2	D 2 .	(14.12)
	n(n − 1)

Состоятельная несмещенная оценка среднеквадратического отклонения определяется по формуле

S0 = S02 .

(14.13)

Состоятельная оценка центрального момента k-го порядка равна:

µˆk (x) = 1	n
	∑(xi − x )k .			(14.14)
n	i=1
Оценка вероятности. На основании теоремы Бернулли несмещенная
состоятельная и эффективная оценка вероятности случайного события A в
схеме независимых опытов равна частоте этого события:
p* ( A) = m ,				(14.15)
	n
где m – число опытов, в которых произошло событие A;
n – число проведенных опытов.
Числовые характеристики оценки вероятности p* ( A) = p* равны:
M[p* ] = p( A) = p, D[p* ] =		p(1 − p)	.	(14.16)

		n

Оценка параметров распределения

Для вычисления оценок параметров распределения чаще всего применяются методы моментов и максимального правдоподобия.

Метод моментов. Пусть имеется выборка {x1, ..., xn} независимых значений случайной величины с известным законом распределения f(x, Q1, ..., Qm) и m неизвестными параметрами Q1, ..., Qm. Необходимо вычислить оценки

ˆ	,	ˆ	параметров Q1, ..., Qm. Последовательность вычислений следующая:
Q1	,	..., Qm
		1. Вычислить значения m начальных и/или центральных теоретических
моментов
				k		k	(14.17)
			αk (x) = M X	,	µk (x) = M (X − mx )	.	(14.17)

2.Определить m соответствующих выборочных начальных αˆk (x) и/или центральных µˆk (x) моментов по формулам (14.7, 14.14).

3.Составить и решить относительно неизвестных параметров Q1, ..., Qm

систему из m уравнений, в которых теоретические моменты приравниваются к

выборочным	моментам. Каждое уравнение имеет вид	αk (x) =αˆk (x) или
	ˆ	ˆ
µk ( x) = µˆk ( x) . Найденные корни являются оценками Q1, ..., Qm неизвестных
параметров.
Замечание. Часть уравнений может содержать начальные моменты, а
оставшаяся часть – центральные.
Метод	максимального правдоподобия. Согласно	данному методу
ˆ	ˆ
оценки Q1, ...,	Qm получаются из условия максимума по параметрам Q1, ..., Qm

положительной функции правдоподобия L(x1,..., xn,Q1,...,Qm ) .

Если случайная величина X непрерывна, а значения xi независимы, то

L(x1,..., xn ,Q1,...,Qm ) = ∏ f (xi ,Q1,...,Qm ).

i=1

Если случайная величина X дискретна и принимает независимые значения xi с вероятностями p(X = xi ) = pi (xi ,Q1,...,Qm ), то функция правдоподобия равна

L(x1,..., xn,Q1,...,Qm ) = ∏pi (xi ,Q1,...,Qm ).

i=1

Система уравнений согласно этому методу может записываться в двух видах:

∂ L(x1,

...,

xn, Q1, ...,

Qm ) = 0,

i =1,

...,

m ,

или

∂Qi

∂ ln (L(x1,

..., xn, Q1,

..., Qm ))

= 0,

i =1,

...,

∂Qi

Найденные корни

выбранной

системы уравнений

являются

неизвестных параметров Q1, ..., Qm.

Q1, ...,

(14.18)

(14.19)

оценками

Интервальные оценки числовых характеристик

Пусть для параметра Q получена из опыта несмещенная оценка ˆ .

Оценим возможную ошибку, возникающую при замене параметра Q его

ˆ . Возьмем достаточно большую вероятность γ, такую, что событие с оценкой Q

вероятностью γ можно считать практически достоверным, и найдем такое значение ε, для которого

ˆ	< ε ) = γ .	(14.20)
p ( Q − Q

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при

замене Q на Q , будет ±ε; большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью α = 1 − γ . Равенство (14.19) означает, что с вероятностью γ неизвестное значение параметра Q попадает в интервал

ˆ	ˆ	(14.21)
I γ = (Q − ε ; Q − ε ) .

Доверительным называется интервал Iγ , в который с заданной

вероятностью (надежностью) γ попадают значения параметра Q. Вероятность γ выбирается близкой к 1: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.

Очевидно, что для построения доверительного интервала должен быть

известен закон распределения величины ˆ . Затруднение состоит в том, что

закон распределения оценки Q зависит от закона распределения величины X и, следовательно, от его неизвестных параметров (в частности и от самого

параметра Q ). Для решения этой проблемы воспользуемся тем, что величина Q

представляет собой, как правило, сумму n независимых одинаково распределенных случайных величин и, согласно центральной предельной теореме, при достаточно большом n (n > 20…50) ее закон распределения можно считать нормальным.

Доверительный интервал для математического ожидания. Интервал

Iγ

для математического

ожидания

случайной величины

X с неизвестным

законом распределения имеет вид

x −

S0 zγ

< mX

< x +

S0 zγ

(14.22)

zγ = arg Φ(γ

где

) – значение аргумента функции Лапласа, т.е. Ф(zγ) =

γ .

Если случайная

величина

распределена по нормальному закону с

ft (x)

параметрами

σx ,

то величина

T =

( x − mX )

распределена

по

закону Стьюдента с (n – 1) степенью

свободы.

Распределение

Стьюдента

степенями свободы имеет следующую

-tγ ,k

tγ,k

плотность распределения:

k + 1

−

k +1

fk (t ) =

π k Γ

где Γ(α ) = ∞∫tα −1e−t dt – гамма-функция.

Доверительный интервал с надежностью γ ожидания имеет вид

x −	S0 tγ,n−1	<m <x +	S0 tγ,n−1	,

	n	X	n

, (14.23)

для математического

(14.24)

где tγ,n−1 – значение, взятое из таблицы распределения Стьюдента.

Доверительный интервал для дисперсии. Интервал Iγ для дисперсии случайной величины X с неизвестным законом распределения имеет вид

				S02 − zγ	2	S02 < DX < S02 + zγ	2	S02 ,	(14.25)
		γ		S02 − zγ	n −1	S02 < DX < S02 + zγ	n −1	S02 ,	(14.25)
					n −1		n −1
где zγ	= arg Φ(		)	– значение аргумента функции Лапласа, т.е. Ф(zγ) =					γ .
		2							2

Если

случайная

величина X распределена

по

нормальному

закону с

то величинаv =

(n −1)S 2

распределена по закону χ

параметрами mx

и σx ,

с (n – 1) степенью свободы и доверительный интервал с надежностью γ

для

дисперсии имеет вид

(n − 1) S 2

< D X <

(n − 1) S

(14.26)

χ1−γ

, n −1

1+γ

, n −1

где χ12−γ

, χ12+γ

– значения, взятые из таблицы распределения χ2 .

,n−1

Формулы (14.24, 14.26) можно использовать при любом объеме выборки

n, так

как

эти

интервалы Iγ

построены

на основе знания точных законов

распределения величин, связывающих Q и Q . Кроме этого, если случайная

величина X распределена по нормальному закону и ее дисперсия σ X2

известна,

то точный интервал Iγ для математического ожидания при любом объеме

выборки n определяют по формуле (14.22), заменив в ней оценку S 0

СКО его

точным значением σX .

Iγ

Доверительный

интервал

для

вероятности. Интервал

для

вероятности события A в схеме независимых опытов Бернулли имеет вид

− zγ

p* (1− p* )

< p( A)

+ zγ

p* (1− p* )

(14.25)

где p* = p* ( A) = mn – частота появления события A в n опытах;

m – число опытов, в которых произошло событие A; n – число проведенных опытов;

zγ = arg Φ( γ2 ) – значение аргумента функции Лапласа, т.е. Ф(zγ) = γ2 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2218 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
17.04.20144.46 Mб551Лекции Теория вероятностей и мат.статистика.doc
#
17.04.2014789 Кб207Теория вероятностей Волковец.pdf