3. Аппаратная функция

Если применить к спектральному аппарату лишь законы геометрической оптики, то на выходе прибора (в фокальной плоскости объектива 4 (рис.1)) получается геометрическое изображение щели. Если же щель бесконечно узкая, то и изображение должно быть бесконечно узкое. Однако это не так. Изображение щели на выходе прибора смазывается по различным причинам. Характер этой ²размазанности² определяет аппаратная функция прибора.

Пусть источник света, освещающий входную щель, строго монохроматичен (длина волны l). На выходе прибора получается некоторое распределение яркости изображения. Это распределение характеризуется функцией Е(l¢), которая называется инструментальным контуром спектральной линии. Будем считать, что для любой длины волны падающего света l формула инструментального контура одинакова относительно l. Иными словами Е(l¢), зависит лишь от разности длин волн l¢-l.

Примечание. На выходе прибора имеется пространственное распределение яркости Е. Но, применяя законы геометрической оптики, можно однозначно поставить в соответствие этому распределению распределение Е(l¢) по длинам волн.

Для рассмотрения зависимости Е(l¢-l) вводят функцию а(l¢-l):

. (5)

Функция а(l¢-l) называется аппаратной функцией спектрального аппарата. Эта функция нормирована на единицу:

. (6)

Реальные источники не могут быть строго монохроматичными. Пусть истинное распределение интенсивности источника света по длинам волн f(l). (Это может быть набор спектральных линий конечной ширины, широкие полосы или сплошной спектр (рис.2)). Это означает, что интенсивность излучения в узком спектральном интервале с длинами волн в промежутке [l;l+dl] равна f(l)dl. Выбирая произвольно dl, можно сделать спектральный интервал сколь угодно узким. Тогда интенсивность f(l)dl преобразуется при помощи аппаратной функции в f(l)a(l¢-l)dl. На выходе спектрального прибора мы обнаружим распределение интенсивности:

. (7)

Причём, F(l¢) и f(l) нормированы на одну и ту же величину: .

Если известна аппаратная функция прибора а(l¢-l), то можно найти истинное распределение спектральной интенсивности f(l) на его входе.

В общем случае аппаратная функция зависит не от разности l¢-l, а от l¢ и l по отельности, т. е. в разных участках спектра она разная: a(l¢, l).

Аппаратная функция спектрального прибора определяется совместным действием различных факторов. К ним относятся: дифракция на действующем отверстии (наименьшем отверстии, ограничивающим размеры сечения пучка света, в нашем случае – это квадрат со стороной d (рис.1)) и ширина входной щели. Влияют так же абберации оптики, зернистость фотоматериала, ширина входной щели.

4. Разрешающая способность

Спектральный прибор, отображая излучение в виде распределения F(l¢), отличающегося от истинного f(l), может оказаться не в состоянии передать два близких по длинам волн излучения в виде раздельно наблюдаемых спектральных линий. Говорят, что прибор не может их разрешить. Пусть dl - минимальная разность двух близких спектральных линий, которые ещё могут быть разрешены; тогда dl - называется пределом разрешения прибора и определяется шириной аппаратной функции.

Величина

(8)

называется разрешающей способностью (силой) прибора, где l - средняя длина волны двух близких линий излучения.

Т. е. разрешающая сила прибора определяет минимальную разность длин волн dl, при которой две линии воспринимаются в спектре раздельно.

Учтём сначала искажения формы линии, вызванные дифракцией на действующем отверстии.

Спектральная линия при условии строго монохроматического освещения бесконечно узкой щели имеет форму, показанную на рис.3а. На этом рисунке дано распределение интенсивности от разности углов dj; за нуль принято истинное положение монохроматической линии, если бы дифракции не было.

Это распределение интенсивности выражается следующей формулой (см. теорию дифракции):

. (9)

Предел разрешения dl можно вычислить, пользуясь критерием Рэлея. Согласно этому критерию, две спектральные линии равной интенсивности считаются ещё разрешёнными, если главный дифракционный максимум интенсивности одной линии совпадает с первым дифракционным минимумом другой линии (рис.3б). При этом интенсивность в провале между линиями составляет »81% I_max, что вполне заметно глазом. При более тесном расположении спектральных линий провал исчезает, и две спектральные линии как бы сливаются.

Угловое расстояние между главным дифракционным максимумом и первым минимумом (угол дифракции) равно:

. (10)

Этот угол мал, поскольку l<< d.

Используя понятие угловой дисперсии можно получить:

. (11)

Тогда

. (12)

Таким образом, максимальная разрешающая способность достигается при полном заполнении призмы светом (d – max).

В случае симметричного хода лучей (рис.1) из формулы (2) следует:

, (13)

т.е. увеличивая размеры призмы (в), можно увеличить разрешающую способность спектрального прибора.

В действительности R< R_теор в силу целого ряда причин, названных в предыдущем пункте. В этом случае справедлива следующая формула:

, (14)

где Dl_пр – практический предел разрешения.

Теперь учтём влияние ширины входной щели на разрешающую силу спектрального прибора.

Если бы не было дифракции и свет распространялся бы по законам геометрической оптики, то при условии строго монохроматического освещения входной щели 1 шириной S₁, мы получили бы в фокальной плоскости объектива 4 (рис.1) линию шириной:

. (15)

А при условии только дифракции на действующем отверстии при бесконечно узкой щели размер изображения был бы:

(16)

Очевидно, при S₂>> решающее значение имеет геометрическая расходимость, а при >> S₂ – дифракционная расходимость. Если S₂₌ , то говорят, что геометрическая и дифракционная расходимости вносят одинаковый вклад.

Ширина входной щели при этом находится из следующего условия:

(17)

или

. (18)

При этом S₁ – называется нормальной шириной входной щели.

В качестве оптимальной ширины входной щели берут:

S_опт=1,5S_норм. (19)

При этом через ²отверстие² d проходит основная доля светового потока

(т. е. »90%), а разрешающая способность прибора уменьшается незначительно R»0,6R_теор.

В настоящее время техника спектроскопии достигла довольно высокого уровня, так что уширение, связанное с абберациями, зернистостью фотоматериалов и т. д. незначительно.