За площадь боковой поверхности конуса |
||
принимается площадь его развертки (конической |
||
поверхности). |
|
|
π l |
2 |
P |
1) Sбок = 360 |
α |
|
2) Sбок = π rl |
|
|
|
A |
B |
Площадь боковой поверхности конуса равна |
|||
произведению |
половины |
длины |
окружности |
основания на образующую. Площадью полной |
|||
поверхности конуса называется сумма площадей |
|||
боковой поверхности и основания. |
|
||
Sкон = π r (l+r) |
|
|
|
доказательство1
H
Vконуса =∫S(x)dx.
S(x) |
0 |
|
|
2 |
2 |
2 |
|||
осн |
= k =(Hx )= Hx 2 |
|||
S |
|
|
|
|
S(x) = Sосн * x22
H H
Vконуса =∫Sосн * x22dx =
0 H
= 13 Sосн * H = 13 π R 2H Vконуса = 13 π R2H
x
H |
S(x) |
Sосн
|
|
3 |
|
|
H |
|
Sосн * |
H |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Sосн |
* |
x |
|
|
|
= |
|
= |
||
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
H |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
H * |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
доказательство2
За величину объема конуса принимается предел, к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон ее основания.
V = lim V |
|
= lim |
3 |
S |
)=3 |
limS |
3 |
|
||||||
n ∞ |
пир |
n ∞( |
осн *H |
n ∞ |
H * Sкруга |
|||||||||
конуса |
|
|
|
|
|
1 |
1H * |
|
|
|
осн = 1 |
|||
Vконуса = 13 π R2H
доказательство3
H
Vтела вращ. = π ∫ f 2(x) dx.
0
H
Vконуса = π ∫ |
(kx)2 dx = π k2 |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
= |
π R2 |
* H3 |
|
= 1 |
π R2H |
|
|
|
|
||||
2 |
* 3 |
3 |
|
|||
|
H |
|
|
|
|
|
Vконуса |
= 1 π R 2H |
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
H |
|
|
R |
|
3 |
|
|
H |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
π R * H |
|
|
||||
∫ |
x |
|
dx = π *(H )* |
x |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
3 |
|
|
H |
2 |
3 |
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
* |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
|
|
A |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
= |
|
|
|
|
y |
|
|
R |
|
α |
|
|
|
O |
|
|
x |
|
H H |
||||
C
|
|
|
|
боковая |
высота |
|
|
|
поверхность |
|
|
|
|
образующая |
основани |
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
радиусы |
Усеченным |
конусом |
называется |
пересечение |
|
конуса |
с |
полупространством, |
содержащим |
|
основание конуса и ограниченным плоскостью, |
||||
которая параллельна плоскости основания конуса |
||||
и пересекает данный конус. |
|
|||
Задача 1. ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Высота конуса равна диаметру его основания. |
|||||||||
Найти отношение площади его основания к |
|||||||||
площади боковой поверхности. |
|
|
|
||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть радиус основания конуса равен R, тогда |
|||||||||
площадь основания Sосн =π R2, а высота конуса 2R. |
|||||||||
В |
SOA: |
|
|
|
|
|
|
|
S |
SA = SO 2 + OA2 |
= |
|
(2R) |
2+ R 2= R |
5 |
|
|
||
|
√ |
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
Итак, l = SA = R |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда Sбок =π Rl = πR2 √5 |
2 |
|
√ 5 |
|
|
||||
|
|
|
|
осн |
πR |
|
|
|
|
Искомое отношение: |
S |
= πR2√ 5 |
= 5 |
|
O |
||||
Sбок |
A |
||||||||
Задача 1. (объем конуса)
Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3 земли имеет массу 1650 кг?
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
V |
= 1 |
π |
R |
2H = 1 |
π |
* 32 * 2 6 |
π |
(м 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O 3м |
|
|
|||||||||||
3 |
|
3 |
= |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2м |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
P = 1650*6*3,14 ≈ 31086 кг |
≈ 31 т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ответ: P = 31 т. |
B |
|
Задача 2. (Объем конуса)
Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
коническая воронка |
|
V |
= |
1 |
π |
R |
2H = 1 |
* 25 * 12 |
|
100 (см3 |
) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D = 10 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
π |
|
= |
π |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
L = 13 см |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
= 100 π см 3 = 0,1π дм3 . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
V – ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
(H =√ 132 - 52 = 12 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
100 |
100 |
≈31,8 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = |
0,1 |
= |
π= |
3,14 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: n ≈ 32 воронки. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3. (Объем конуса)
«... Читал я где-то, что царь однажды воинам своим велел снести земли по горсти в кучу. И
гордый холм возвысился, и царь мог с высоты с весельем озирать и дол, покрытый белыми
шатрами, и море, где бежали корабли.»
А.С. Пушкин «Скупой рыцарь»
Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Докажите геометрически, что если бы какой- нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм».
1 горсть ≈ 15 литров = 0,2 дм.3
Войско в 100 000 воинов считалось очень внушительным.
V = 0,2*100 000 = 20 000 дм3 = 20 м3.
Угол откоса Ј 45°, иначе земля начнет осыпаться.
Возьмем угол откоса наибольшим возможным, т. е. 45°
Дано: конус
V = 20 м3 a = 45°
Найти: H конуса
Решение:
Vконуса = |
1 π R2H |
45° |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как H = R, то: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 3V |
3 |
3 * 20 |
≈ |
|||||||||||||||||||||||||||
H =√ |
π |
|
= √ |
|
2,7 м. |
|||||||||||||||||||||||||
|
3,14 |
|||||||||||||||||||||||||||||