3 Задачи

Задача 1.

Найти решение уравнения

Удовлетворяющее краевым условиям

y(-1)=y(1)=0 (3.1.2)

Решение:

За систему координатных функций принимаем полиномы, расположенные по степеням , удовлетворяющие однородным краевым условиям:

Для простоты выкладок возьмем лишь три координатные функции, т. Е. будем искать функцию y=y(x) в виде суммы

(3.1.4)

Данное уравнение, где

p(x)=1, q(x)=1+ , f(x)=-1,

очевидно, является самосопряженным. Составляем для него соответствующий функционал

Заменяя y его выражением (3.1.4), получаем

Частные производные

можно найти дифференцированием интеграла F :

Приравнивая эти производные нулю, получаем систему уравнений

откуда находим, что . Подставляя найденные значения и в формулу (*), получаем приближенное выражение для искомого решения:

Задача 2.

Определить с помощью метода Ритца упругую линию свободно опертой по концам призматической балки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q.

(Рис. 3.2.1)

Решение

Упругую линию балки   будем искать в виде

Функции в (3.2.1) должны быть линейно независимыми. Кроме того, желательно, чтобы их система удовлетворяла условиям полноты. Наконец, в методе Ритца принятое выражение для упругой линии должно обязательно удовлетворять кинематическим граничным условиям задачи: при   и ни в коем случае не накладывать дополнительных кинематических ограничений (например, закреплять какое-то сечение балки по ее длине). Эти требования будут выполнены, если в качестве координатных функций примем

Заметим, что функции удовлетворяют также и силовым граничным условиям: при 

Удовлетворение силовым граничным условиям в методе Ритца хотя и не обязательно, но желательно, поскольку при этом повышается быстрота сходимости, решения. С учетом выражение перепишется в виде

Чтобы воспользоваться уравнениями метода Ритца

необходимо предварительно определить выражения для потенциальной энергии балки и силовой функции поперечной нагрузки 

Если ограничиться учетом лишь деформаций изгиба балки, то

или, после подстановки в ,

Силовая функция внешних сил

Внося полученные выражения для П и U в уравнение , имеем

Откуда

С учетом выражение для упругой линии балки окончательно примет следующий вид:

Интересно оценить точность решения при сохранении в ряду лишь нескольких первых членов. Подсчитаем прогиб балки в середине пролета   и сохранении в лишь первого члена

Точное решение дает

Погрешность результата составляет всего 0,4%.

ВЫВОДЫ

В курсовой работе рассмотрено приближенный метод решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Рассмотрено краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго рода. Основное внимание сосредоточено на решении уравнений методом Ритца, который показан на примерах.