Государственное высшее учебное заведение «запорожский национальный университет» Министерства образования и науки Украины

К защите допущен                          Заведующий кафедрой 

математического анализа

______________ С. Н. Гребенюк

(подпись)

____________________________

(дата)

Курсовая работа

по теме: «Метод Ритца решения краевых задач»

Выполнил

ст. группы ­­­­4219-1 Б. А. Подлисецкий

(шифр) (подпись и дата) (Ф.И.О.)

Заведующий кафедрой математического анализа С.Н. Гребенюк

(должность) (подпись и дата) (Ф.И.О.)

г. ЗАПОРОЖЬЕ

2011

Содержание:

	Введение	3
1.	Основные сведения.	4
2.	Метод Ритца.	6
3.	Задачи.	10
4.	Выводы.	16
5.	Список литературы.	17

Введение

На практике в большинстве случаев получить точное решение поставленной математической задачи не удается. Поэтому важного значения приобретают численные методы решения возникающих на практике сложных задач.

В первом разделе дается краткая характеристика краевых задач, методы их решения, классификация.

Второй раздел посвящен теоретическим сведениям касательно метода Ритца решения краевых задач.

В третьем разделе расположены примеры задач и их решения методом Ритца.

1. Основные сведения

Точное (аналитическое) решение краевых задач вызывает еще б льшие трудности, чем решение задач Коши. Отсюда – повышенный интерес и большое разнообразие приближенных методов решения таких задач. По типу представления результатов приближенного решения методы можно разделить на две группы: приближенно-аналитические, дающие приближенное решение краевой задачи на отрезке в виде некоторой конкретной функции, и собственно численные или сеточные методы, дающие каркас приближенного решения на заданной на сетке. По идейной основе приближенных методов их можно классифицировать следующим образом:

1. Методы сведения к задаче Коши (метод пристрелки, метод дифференциальной прогонки, метод редукции);

2. Метод конечных разностей;

3. Метод балансов или интегро-интерполяционный метод;

4. Метод коллокации;

5. Проекционные методы (моментов, Галёркина);

6. Вариационные методы (наименьших квадратов, Ритца);

7. Проекционно-разностные методы (метод конечных элементов);

8. Методы сведения к интегральным уравнениям Фредгольма и др.

Для отыскания решения краевой задачи

(1.1)

(1.2)

надо подставить общее решение уравнения (1.1) в краевые условия (1.2) и из этих условий определить (если это возможно) значения произвольных постоянных, входящих в формулу общего решения. В отличие от задачи с начальными условиями (задачи Коши), краевая задача не всегда имеет решение, а если разрешима, то не обязательно единственным образом.

2 Метод ритца

Идея метода Ритца заключается в том, что значение некоторого функционала рассматривается не на произвольных допустимых кривых данной вариационной задачи, а лишь на всевозможных линейных комбинациях

с постоянными коэфициентами составленных из n первых функций некоторой выбранной последовательности функций

(2. 2)

Функции (2.1) должны быть допустимыми в рассматриваемой задаче, что налагает некоторые ограничения на выбор последовательности функций . На таких линейных комбинациях функционал превращается в функцию коэффициентов . Эти коэффициенты выбираются так, чтобы функция достигала экстремума; следовательно, должны быть определены из системы уравнений

Совершая предельный переход при , получим в случае существования предела функцию являющуюся (при некоторых ограничениях, налагаемых на функционал и на последовательность точным решением рассматриваемой вариационной задачи. Если не совершать предельного перехода, а ограничится лишь первыми членами то получим приближенное решение вариационной задачи.

Если таким методом определяется абсолютный минимум функционала, то приближенное значение минимума функционала находится с избытком, так как минимум функционала на любых допустимых кривых не больше, чем минимум того же функционала на части этого класса допустимых кривых – на кривых вида При нахождении тем же методом максимального значения функционала получаем по тем же причинам приближенное значение максимума функционала с недостатком.

Для того чтобы функции были допустимыми, прежде всего необходимо удовлетворять граничным условиям. Если граничные условия линейны и однородны, например, в простейшей задаче или

где - постоянные, то проще всего и координатные функции выбрать удовлетворяющими этим граничным условиям. Очевидно, что при этом и при любых будут удовлетворять тем же граничным условиям. Пусть, например, граничные условия имеют вид

Тогда в качестве координатных функций можно выбрать

Где - какие-нибудь непрерывные функции, или

или какие-нибудь другие функции, удовлетворяющие условиям

Если условия неординарны, например где хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то проще всего искать решение вариационной задачи в виде

Где удовлетворяет заданным граничным условиям , а все остальные удовлетворяют соответствующим однородным граничным условиям, т. е. в рассматриваемом случае Очевидно, что при таком выборе при любых функции удовлетворяет заданным граничным условия. В качестве функции можно выбрать, например, линейную функцию

Решение системы уравнений

вообще говоря, является весьма сложной задачей. Эта задача значительно упрощается, если на экстремум исследуется квадратичный относительно неизвестной функции и ее производных функционал , так как в этом случае уравнения (2. 7) линейны относительно .

Выбор последовательности функций , называемых координатными функциями, сильно влияет на степень сложности дальнейших вычислений, и поэтому от удачного выбора координатной системы функций в значительной мере зависит успех применения этого метода.