1.3. Об операциях над автоматами, о законах и тождествах алгебры автоматов

Над цифровыми автоматами, как и над другими объектами дискретной математики, могут выполняться разнообразные операции.

Все операции можно разделить на следующие пять групп:

1) группу операций декомпозиции;

2) группу операций композиции;

3) группу алгебраических операций;

4) группу операций проверки отношения между автоматами;

5) группу операций упрощения автомата.

В первую группу входят операции формирования булеана (множества

всех подавтоматов) автомата, разбиения и покрытия автомата, проверки раз-

биения и покрытия.

Группа вторая включает в себя операции различного соединения автоматов: последовательного, параллельного соединений и соединения с обратной связью.

В группу алгебраических операций входят операции объединений, вычитания, симметрической разности, дополнения, пересечения.

Группа четвертая включает в себя операции проверки отношений между автоматами. В эту группу входит операция проверки равенства автоматов.

Упрощать автоматы можно на основе тождеств алгебры автоматов, на основе учета сохраняемости логических условий [4].

Все законы обычной алгебры справедливы и в алгебре автоматов, однако распределительный закон имеет в ней и вторую форму (форму распределения “слагаемого” относительно “произведения”).

Имеющуюся форму распределительного закона в обычной алгебре следует называть формой распределения “произведения” относительно “слагаемого”.

Все тождества алгебры алгоритмов [14] действуют в алгебре автоматов. В системе тождеств выделяются группы:

1) тождеств отдельных операций;

2) тождеств склеивания;

3) тождеств поглощения;

4) тождеств Порецкого;

5) тождеств де Моргана;

6) тождеств для общих “множителя” и “слагаемого” совершенного ранга.

1.4. Цифровые автоматы 1-го и 2-го рода, автоматы Мили и Мура

Автоматы 1-го и 2-го рода различаются законами функционирования.

Закон функционирования для ЦА 1-го рода включает в себя функции:

s(t) = (s(t-1), x(t)),

y(t) = (s(t-1), x(t)).

Видно, что характер зависимостей s(t) и y(t) от s(t-1) и x(t) является одинаковым, естественно, что операторы  и  являются различными.

Функция выхода ЦА 2-го рода отличается от такой функции ЦА 1-го рода тем, что используется состояние в данный момент времени s(t):

y(t) = (s(t), x(t)).

Таким образом, закон функционирования ЦА 2-го рода есть:

s(t) = (s(t-1), x(t)),

y(t) = (s(t), x(t)).

Частный случай автомата 2-го рода - ЦА Мура. В том автомате функция выхода зависит только от данного состояния:

y(t) = (s(t)).

Ясно, что зависимость от x(t) отсутствует только явно, на самом деле зависимость имеется (неявно). В том можно убедиться, подставив в функцию выхода данное состояние s(t) по функции перехода:

y(t) = ((s-1), x(t)) = '(s(t-1), x(t)).

Получается некоторая новая функция выхода '.

Нелишне ещё раз записать законы функционирования автоматов Мили и Мура, используя в качестве индексов "ми", "му":

s(t)_ми= (s(t-1), x(t)),

y(t)_ми=(s(t-1), x(t)) - ЦА Мили;

s(t)_му= (s(t-1), x(t)),

y(t)_му=(s(t)) - ЦА Мура.

У ЦА Мили выходной сигнал имеется только тогда, когда есть входной сигнал, а у ЦА Мура выходной сигнал имеется всегда. Целесообразно считать, что выходной сигнал у ЦА Мили носит импульсный характер, а у ЦА Мура - потенциальный характер.

"Почувствовать" автоматы рассмотренной классификации можно, используя триггер со счетным входом (рис. 3). Как видно, триггер под действием каждого входного сигнала переходит в новое состояние. По переходам триггер ведет себя как ЦА Мили и ЦА Мура.

Рис.3. Триггер со счетным входом Рис.4. ЦА 2-го рода

На рис. 3 диаграммы на входе и левом выходе триггера отражены с учетом автоматного времени, равного 1, 2, 3, 4, 5. На рис. 4 показана выработка выходного сигнала y(t) по данному состоянию, а на рис.5 - по предыдущему состоянию.

Диаграммы работы ЦА Мили (рис.5,а) и Мура (рис.5,б) показаны на рис. 6 и 7 соответственно.

Рис.5. ЦА Мили и Мура

Рис.6. Диаграмма работы ЦА Мили Рис.7. Диаграмма работы ЦА Мура