3.5.2. Упрощение цифрового автомата за счет тождеств
Данный цифровой автомат можно упростить, если применить тождества и законы алгебры логики. Этот прием уже применялся выше при реализации операции настраиваемого объединения (табл. 30) .
При предыдущем упрощении было получено для функции перехода 4к
следующее выражение:
4к
=
Х2\/Х2.
По тождеству склеивания эта функция перехода 4к = 1. Получается дополнительное сокращение МСА. Этим способом можно упростить функции
переходов 04, 13:
0к
Х1Х2 \/ Х1Х2 = Х1, 13
= Х2 \/ Х2 = Х2 .
В итоге упрощения МСА будет иметь меньше операторных и условных
вершин. Вместо 8 операторных вершин осталось 7 таких вершин. Что касае-
тся условных вершин, то уменьшение их числа легче определить по ГСА ис-
ходного и упрощенного алгоритмов. Если такие ГСА изобразить, что из - за ограниченного объема пособия не сделано, то можно будет узнать, что число условных вершин уменьшилось с 17 до 6.
1
2
3
в
4
5
Рис.25. СА упрощения алгоритма
4. Законы и тождества алгебры автоматов
Для любой алгебры характерны определенные законы и тождества.
В обычной алгебре справедливы переместительный, сочетательный и распределительный законы.
Оказывается, что они имеют место и в алгебре дискретных объектов (множеств, графов, кубов, покрытий, алгоритмов).
Для последнего закона характерно две формы. Первая форма связана с общим ”множителем”, вторая - с “общим слагаемым”.
4.1. Законы
4.1.1. Переместительный закон
Переместительный (коммутативный) закон алгебры автоматов справедлив для объединения, пересечения, симметрической разности:
САА САВ = САВ САА,
САА САВ = САВ СА А,
САА САВ = САВ САА.
Естественно, что он несправедлив для разности:
САА \ САВ САВ \ САА.
4.1.2. Сочетательный закон
Сочетательный (ассоциативный) закон в алгебре автоматов применим для объединения, пересечения, симметрической разности:
(САА САВ) САС = САА (САВ САС),
(САА САВ) САС = САА (САВ САС),
(САА САВ) САС = САА (САВ САС).
Для разности он неприменим:
(САА \ САВ) \ САС САА \ (САВ \ САС).
4.1.3. Распределительный закон
Распределительный (дистрибутивный) закон алгебры автоматов имеет две формы. Первая форма связана с общим «сомножителем», вторая – с общим «слагаемым».
Первая форма справедлива для пересечения относительно объединения, разности, симметрической разности:
САА (САВ САС) = САА САВ САА САС,
САА (САВ \ САС) = САА САВ \ САА САС,
САА (САВ САС) = САА САВ САА САС.
Оказывается, что разность распределяется относительно объединения:
(САА САВ) \ САС (САА \ САС) (САВ \ САС),
при этом разность должна рассматриваться второй. Если же данная операция будет рассматриваться первой, то получается, что
САА \ (САВ САС) (САА \ САВ) (САА \ САС).
Общее «слагаемое» имеет место в следующих вариантах:
САА САВ САС (САА САВ) (САА САС),
(САА САВ) \ САС = (САА \ САС) (САВ \ САС),
однако
САА \ (САВ САС) (САА \ САВ) (САА \ САС),
(САА САВ) САС (САА САС) (САВ САС).