4.2. Тождества

В алгебре автоматов имеется большое разнообразие тождеств. Их можно

разделить на шесть групп.

4.2.1. Тождества отдельных операций

Для операций над автоматами справедливо:

САА  САА = САА, САА  СА0  САА, САА  СА1 = СА1,

САА САА = СА1;

САА  САА = САА, САА  СА0 = СА0, САА  СА1 = САА,

САА САА = СА0;

СА \ САА = СА0, САА \ СА0 = САА, САА \ СА1 = СА0,

САА \ САА = САА, СА0 \ САА = СА0, СА1 \ САА = САА,

САА \ CАА = САА, САА \ САВ = САА САВ;

САА  САА = СА0, CAA  CA0 = CAA,

CAA CA1 = CAA, CAA  CAA = CA1;

CA1 = CA0, CA0 = CA1, CAA = CAA.

4.2.2. Тождества склеивания

Имеется две формы этого тождества. Наиболее известна форма, в которой объединяются два пересечения:

CAA CAB  CAA  CAB = CAA,

вторая форма получается из первой путем замены операции пересечения опе-рацией объединения, операции объединения операцией пересечения:

(CAA CAB)  (CAA  CAB) = CAA.

4.2.3. Тождества поглощения

Таких тождеств имеется также два:

CAA  CAA  CAB = CAA, CAA  (CAA  CAB) = CAA.

4.2.4. Тождества Порецкого

Тождества Порецкого похожи на тождества поглощения:

CAA CAA CAB = CAA  САВ, CAA  (CAA  CAB) = CAA  САВ.

4.2.5. Тождества де Моргана

Широко распространены следующие два тождества де Моргана:

CAACAВ = CAAСАВ, CAACAB = CAAСАВ.

Существуют и другие тождества де Моргана:

CAA \ CAB = CAA CAВ, CAA  САВ = CAA  CAB  CAA  САВ.

4.2.6. Тождества для общих “множителя” и “слагаемого”

совершенного ранга (тождества Триханова)

В [14] описаны тождества для алгоритмов, предложенные автором этого пособия. Их можно называть тождествами для общих “множителя” и “сла-гаемого” совершенного ранга.

В алгебре автоматов общими “множителем” и “слагаемым” будут пересечение и объединение автоматов.

Если такое общее “слагаемое” автоматов, например, А, В и С объе-динить с пересечением данных автоматов, то это будет равно указанному общему “слагаемому”:

CAA  CAВ  CAС  CAA  CAВ  CAС = CAA  САВ  САС.

Применительно к общему “множителю” автоматов САА, САВ, САС тождество второй формы следует записать следующим образом:

CAA CAВCAС(CAACAВCAС) = СААCABCAС.

5. Вопросы синтеза и анализа логических схем

5.1. Синтез логических схем

5.1.1. Синтез схем с одним выходом с оптимальным доопределением

Синтез логических схем с оптимальным доопределением связан с использованием наборов, отмеченных звездочкой.

Если набор не отмечен звездочкой, то функция имеет значение единицы. Если набор отмечен звездочкой, то функция может иметь любое значение по усмотрению проектировщика.

Наборы с звездочками можно использовать для оптимального доопределения. Оптимальный вариант доопределения можно найти путем перебора всех случаев доопределения. Количество таких доопределений есть величина, равная двойке в степени, совпадающей с числом наборов с звездочкой.

Пусть имеются наборы с номерами 0, 4, 8, 12 и 15, из которых наборы с номерами 8 и 15 отмечены звездочками.

Имеется два отмеченных набора, следовательно, будет четыре случая доопределения на указанных наборах.

Функции с доопределением можно обозначить через f₀, f₁, f₂ и f₃. Каждую такую функцию целесообразно представить на карте Карно, произвести минимизацию. В итоге найдется оптимальный вариант тупиковой формы f_тф.

Оказывается, есть алгоритм оптимального доопределения. Он связан с доопределением нулями (с функцией ₀), с доопределением единицами (с функцией ₁).

Алгоритм этот - следующий:

1. начало;

2. получение выражения ₀ без минимизации;

3. получение выражения ₁ с минимизацией;

4. выбор по импликантной таблице существенных простых импликант из ₁ для получения f_тф;

5. конец.

Выражение ₀ есть:

Для получения выражения ₁ целесообразно воспользоваться картой Карно (рис. 26). Видно, что

Реализация алгоритма оптимального доопределения для заданной функции представлена в табл. 37.

Как видно,

Таблица 37

ПИ 1	ИМП 0
	\/	\/	\/
x1x2x3x4

 

Р

Р

Р

Рис. 26

5.1.2. Синтез схем с двумя выходами с средней степенью связи

В отличие от слабой связи (общих инверторов в разных каналах) средняя связь ориентируется на общности импликант. Если у схемы имеется один выход, то тогда могут быть общие части импликант.

Данный синтез вначале рассматривается применительно к схеме с 2-мя выходами, а затем - к дешифратору с заданным количеством входов.

Пусть требуется произвести синтез схемы с следующими выражениями выходов:

y₁= x₁ x₂ x₃+ x₁x₂ x₃+x₁x₂ x₃,

y₂= x₁x₂x₃+x₁x₂x₃+x₁x₂x₃.

Видно, что 1-я импликанта у выражений является общей. Её следует реализовать в одном из каналов, например, в первом. С учётом общей части

a =x₁x₂ x₃

y₁= x₁x₂x₃+x₁x₂x₃+x₁x₂x₃,

y₂= a +x₁x₂x₃+x₁x₂x₃.

Стоимость по Квайну 1-го выражения будет равна 15, а 2-го выражения – 9. Учтена и слабая связь (инверторы отнесены к 1- му каналу). Исходные

выражения без учёта каких- либо связей “стоили” 30.

Синтезированную схему требуется изобразить с учётом булевого базиса элементов.

В качестве примера учёта частей импликант, дающего большой эффект, можно рассмотреть синтез дешифратора с n входами. Эффект начинает получаться при n, равном 4. С увеличением числа входов растет сложность дешифратора и эффект минимизации. С учетом увеличения сложности следует ограничиться количеством входов, равным четырем (табл. 38).

Таблица 38

Условия работы дешифратора

x1	x2	x3	x4	y0 y1	y2 y3	y4 y5	y6 y7	y8 y9	y10 y11	y12 y13	y14 y15
0 0	0 0	0 0	0 1	1 1
0 0	0 0	1 1	0 1		1 1
0 0	1 1	0 0	0 1			1 1
0 0	1 1	1 1	0 1				1 1
1 1	0 0	0 0	0 1					1 1
1 1	0 0	1 1	0 1						1 1
1 1	1 1	0 0	0 1							1 1
1 1	1 1	1 1	0 1								1 1

Выражения каналов будут следующими:

_ _ _ _ _ _ _

y₀ = x₁x₂x₃x₄ , у₈= х₁х₂х₃х₄ ,

_ _ _ _ _

у₁= х₁х₂х₃х₄ , у₉= х₁х₂х₃х₄ ,

_ _ _ _ _

у₂= х₁х₂х₃х_{4 ,} у₁₀= х₁х₂х₃х₄ ,

_ _ _

у₃= х₁х₂х₃х₄ , у₁₁= х₁х₂х₃х₄ ,

_ _ _ _ _

у₄= х₁х₂х₃х₄ , у₁₂= х₁х₂х₃х₄ ,

_ _ _

у₅ = х₁х₂х₃х₄ , у₁₃= х₁х₂х₃х₄ ,

_ _ _

у₆= х₁х₂х₃х₄ у₁₄= х₁х₂х₃х₄ ,

_

у₇= х₁х₂х₃х₄ у₁₅= х₁х₂х₃х₄ .

При синтезе дешифраторов принято считать, что входные сигналы по-