3. При перемене 2х строк местами, а остальные на месте определитель меняет знак.

Пусть В получена из А путем перестановки i и j строк. Рассмотрим произвольные

Слагаемые в определителе det B

(-1)^N(P)*b₁£₁*…*b_i£_i*…*b_j£_j*…*b_n£_n=(-1)^N(P)*a₁£₁*…*a_j£_i*…*a_i£_j*…*a_n£_n

P=(1 … I … j … n )

(£1…£i…£j…£n)(**)

произведение такого вида(**) входит в определитель det A, со знаком определенным

подстановкой P`=(1 … 2 … j … I … n )

(£1…£2…£i…£j…£n)

подстановки P и P` отличаются одной транспозицией в нижней строке следовательно

различная четность следовательно (-1)^N(P)=-(-1)^N(P`)

это верно для любого слагаемого в det B следовательно det A=-det B

Билет 8.

Свойства определителя - прибавление к строке определителя другой строки, умноженной на число; прибавление линейной комбинцации 2 строк, аналогичное для столбцов.

Ответ:

 Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) этого же определителя, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменяется.

Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

, ,

, ,

, .

Билет 9.

8. Если одна из строк является линейной комбинацией каких либо других строк,

то определитель равен 0

2. Если в матрице есть хотя бы 1 нулевая строка, то det A=0.

Пусть для определенности 1я строка нулевая, тогда в каждом из слагаемых

Будет входить ровно 1 элемент из этой строки. По этому все произведения =0

И det A=0.

4.если матрица А содержит 2 одинаковые строки то определитель = 0

переставим эти 2 строки местами, с одной стороны определитель должен поменять знак,

а с другой стороны он не поменялся, следовательно определитель =0

5.Общий множитель элементов некоторой строки можно вынести за знак определителя

6. определитель, содержащий две пропорциональные строки равен 0, следует из свойств

4 и 5.

Билет 10. Понятие алгебраического дополнения элемента матрицы определителя. Разложение определителя по первому столбцу или строке.

Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.

Билет 11. Разложение определителя по любому столбцу или строке

Аналогично, число степень и т.п.

Билет 12. Свойства определителя: Об умножение элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки, определитель произведения двух матриц.

Ответ:

Алгебраическим дополнением к элементу a_ij определителя detA назовем величину, обозначенную A_ij: .

Теорема (вычисление определителя разложением по i-той строке): (_*)

(формула разложения определителя по i-той строке)