2. Многочлени над скінченними полями

Многочленом степеня над скінченним полем від однієї змінної називається вираз вигляду:

,

де коефіцієнти многочлена . Найбільше число таке, що коефіцієнт називається степенем многочлена і позначається . Якщо при цьому , то многочлен називається нормованим.

Многочлени над скінченним полем відносно звичайних операцій додавання і множення утворюють кільце, яке називається кільцем многочленів над полем і позначається .

Відзначимо, що многочлени над скінченним полем утворюють саме кільце, а не поле, тому що не існує таких многочленів степеня , які б при множенні давали б одиницю: , тобто в кільці многочленів для кожного елемента, що не є ненульовим сталим многочленом, відсутній обернений елемент

Для кільця многочленів над скінченним полем справедливі операції додавання, множення, ділення з остачею. У кільці зберігаються означення та властивості найбільшого спільного дільника многочленів, зокрема діє алгоритм Евкліда для визначення НСД і розширений алгоритм Евкліда для визначення лінійного представлення НСД.

Для многочленів над скінченним полем, як і для чисел, можна ввести поняття конгруенції.

Нехай , , – многочлени з . Многочлен називається конгруентним многочлену за модулем многочлена , якщо різниця ділиться на . Цей факт позначають так:

Останнє співвідношення називається конгруенцією многочленів за модулем многочлена .

Лишок многочлена за модулем многочлена дорівнює остачі від ділення на . Очевидно, у такому випадку при діленні на многочлени і дають однакову остачу. Процес переходу від до називається зведенням за модулем .

Многочлен називається незвідним над полем або у кільці , якщо рівність , де , – многочлени над , виконується тільки за умови, що якийсь з многочленів чи є сталим.

Незвідність многочленів аналогічна простоті цілих чисел. Незвідний многочлен не ділиться ні на який многочлен меншого степеня. Зокрема, всякий многочлен першого степеня є незвідним. Для незвідності многочлена степеня 2 або 3 над полем необхідно і достатньо, щоб він не мав коренів в полі .

Властивості незвідних многочленів над полем :

1. Будь-який незвідний многочлен степеня над полем є дільником многочлена .

2. Незвідний многочлен степеня над полем є дільником многочлена тоді і тільки тоді, коли .

3. Число нормованих незвідних многочленів степеня над полем дорівнює , де сума береться за всіма додатними дільниками числа , – функція Мебіуса.

Щоб знайти всі незвідні многочлени даного степеня над полем , треба:

1. Знайти всі звідні нормовані многочлени даного степеня над полем .

2. Вилучити отриману множину з множини всіх можливих нормованих многочленів степеня над полем .

Скінченні поля будуються з кілець многочленів так само, як вони будувалися з кілець класів лишків.

Для довільного зведеного многочлена ненульового степеня над полем кільцем многочленів за модулем називається множина всіх многочленів над цим полем, степені яких не перевищують степеня самого многочлена , з операціями додавання і множення многочленів за модулем . Позначають .

Кільце класів лишків цілих чисел за модулем утворює поле тільки коли , де – просте число. Так само, кільце утворює поле тільки коли многочлен – незвідний.

Теорема (необхідна і достатня умова перетворення кільця многочленів на поле.) Кільце многочленів за модулем буде полем тоді і тільки тоді, коли многочлен – нормований і незвідний.

Якщо над полем Галуа знайдено нормований незвідний многочлен степеня , то на основі викладеної теорії можна побудувати поле Галуа, елементи якого зображуються многочленами над степенів не вище . Всього існує таких многочленів, тому і поле буде складатися з елементів.

У кожного ненульового многочлена над скінченним полем окрім його степеня є ще одна важлива цілочисельна характеристика – його порядок.

Нехай – ненульовий многочлен. Якщо , то найменше натуральне число , для якого многочлен ділить многочлен називається порядком многочлена і позначається . Якщо ж , то многочлен однозначно представлений у вигляді , де , і і тоді многочлена визначається як .

Порядок многочлена іноді називають його періодом або експонентою.

Властивості порядку нормованого многочлена , , степеня над полем :

1. .

2. Якщо многочлен – незвідний над полем , то його порядок ділить націло число .

3. Порядок многочлена – найменше натуральне число, що задовольняє конгруенцію .

4. Якщо – незвідний нормований многочлен над полем характеристики і , , то

,

де – найменше ціле число, що є розв’язком нерівності .

5. Якщо – попарно взаємно прості ненульові многочлени над полем , а – їх порядки відповідно, то порядок добутку многочленів

дорівнює найменшому спільному кратному порядків :

.

6. Якщо – многочлен степеня над полем характеристики , то порядок многочлена дорівнює порядку многочлена .

Для визначення порядку многочлена треба:

1. Число розкласти на прості множники: ;

2. Для кожного множника відшукати лишки одночленів за модулем і далі серед них відшукати порядок многочлена;

3. Якщо , то порядок ділиться на , а якщо , то порядок не ділиться на ;

4. В останньому випадку з’ясувати, чи буде число ділитися на , ,…, , обчислюючи відповідні лишки. Такі розрахунки виконати для кожного простого дільника числа і в результаті знайти число .

Порядок незвідного многочлена можна визначити, користуючись наступною теоремою.

Теорема. Нехай – незвідний многочлен степеня m, що задовольняє умові . Порядок цього многочлена збігається з порядком будь-якого кореня цього многочлена в мультиплікативній групі поля

Звідси випливає важливий наслідок:

Наслідок. Якщо – незвідний многочлен степеня m над полем , то його порядок ділить число .

Означення. Незвідний нормований многочлен степеня над полем називається примітивним многочленом над полем , якщо його порядок дорівнює і .

Число примітивних многочленів степеня над полем дорівнює

,

де – значення функції Ейлера.

ІІ. Практичні завдання.

Завдання 1. Знайти суму і добуток многочленів і над полем

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) ; ;

6) , ;

7) ; ;

8) ; ;

9) ; ;

10) , ;

Завдання 2. Знайти

а) НСД многочленів і над полем ;

б) лінійне представлення НСД многочленів і над полем .

1) , , ;

2) , , ;

3) , , ;

4) , , ;

5) , , ;

6) , , ;

7) , ;

8) , , ;

9) , , ;

10) , , .

Завдання 3. Знайти лишок многочлена за модулем над полем .

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , .

Завдання 4. Розкласти многочлен на добуток незвідних множників над полем .

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , .

Завдання 5. З’ясувати, чи буде примітивним многочлен над полем .

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , .

Завдання 6. Побудувати поле як поле многочленів за модулем многочлена над полем .

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , .

ІІІ. Порядок виконання роботи.

1. Вивчити короткі теоретичні відомості з основ теорії подільності в кільці цілих чисел.

2. Розв’язати задачі згідно варіантам.

3. Скласти звіт, приєднавши отримані результати.

Вимоги до звіту.

У звіті мають бути приведені:

Вихідні дані (варіанти завдань);

результати і проміжні дані з необхідними поясненнями.

Література:

1. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т.– М.: Мир, 1988. – Т.1. – 430 с., Т.2. – 392 с.

2. Нечаев В.И. Элементы криптографии (Основы теории защиты информации) –М.: Высшая школа, 1999. – 109 с.

3. Матемтические и компьютерные основы криптологии: Уч. пос. / Ю.С. Харин, В.И. Берник, Г.В. Матвеев, С.В. Агиевич. – МН.: Новое знание, 2003. – 382 с.