4.2 Основные характеристики звеньев

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) звена определяется

путем подстановки в операторную передаточную функцию звена (где - круговая частота, ) и выделении действительной и мнимой частей.

Например, для апериодического звена 1-го порядка получаем

Амплитудная частотная характеристика звена (АЧХ): .

Фазовая частотная характеристика звена (ФЧХ): .

В терминах MathCad указанные операции легко могут быть проведены следующим образом:

Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ):

.

-45

-90

Рис.2. АФЧХ и ЛАФЧХ для апериодического звена 1-го порядка

4.3 Переходная и весовая функции звена

Переходной функцией называется реакция звена на единичное ступенчатое воздействие, то есть переходный процесс на выходе при единичном скачке на входе звена.

Следовательно,

, ,

откуда переходная функция

.

Используя переходную характеристику, можно определить реакцию на входное воздействие , заданное произвольной кривой при помощи интеграла Дюамеля

.

1

0 0

а) б)

Рис.3. График единичной ступенчатой функции (а) и

реакция типового колебательного звена (б)

Часто встречающимся воздействием на реальные системы являются кратковременные, но существенные по величине всплески, импульсы. Например, порывы ветра, ударная нагрузка и т. п. Моделирование подобного рода воздействий осуществляется с помощью единичной импульсной функции , имеющей следующее определение

при .

Импульсная единичная функция относится к классу обобщенных функций и представляет собой производную от единичной ступенчатой функции:

.

Реакцию звена или системы на единичную импульсную функцию называют импульсной характеристикой (весовой функцией). Между весовой и переходной функциями звена или системы имеется следующее соотношение:

.

Пример аналитического выражения переходной и весовой функций для колебательного звена:

, .

При колебания становятся незатухающими, а при колебания превращаются в апериодический процесс.

4.4 Устойчивость САУ по алгебраическим критериям

В теории автоматического регулирования наибольшее применение из алгебраических критериев устойчивости получили критерии Рауса и Гурвица. Эти критерии позволяют по коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы без вычисления его корней сделать вывод об устойчивости системы. Общий вид характеристического уравнения следующий:

,

здесь _i – постоянные коэффициенты, содержащие информацию о САУ.

4.4.1 Критерий устойчивости Рауса

Применение критерия устойчивости Рауса требует составления таблицы. Число строк таблицы равно степени характеристического уравнения плюс единица. В первой строке записывают в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения, имеющие четный индекс во второй строке - с нечетным индексом ...

Любой из остальных коэффициентов таблицы определяется из рекурентного соотношения

, где .

Условие устойчивости: для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели одинаковый знак. Обычно характеристическое уравнение приводят к такому виду, когда >0, для устойчивости системы все остальные элементы первого столбца должны быть положительными.

При наличии отрицательных элементов в первом столбце таблицы Рауса система не устойчива. Число таких элементов равно числу корней характеристического уравнения с положительной вещественной частью.

Если один из элементов первого столбца равен нулю, а остальные элементы положительные, система на границе устойчивости – характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней.

При равенстве нулю последнего (n+1)-го элемента или  последних элементов первого столбца система также на границе устойчивости - характеристическое уравнение имеет одну или  пар нулевых корней.

Таблица Рауса

Номер	Номер столбца
строки	1	2	3	k
1				...
2				...
3				...
4				...
	...	...	...	...