13) Подпоследовательности, частичные пределы. Связь предела последовательности с частичными пределами.
Билет № 13. Подпосл-ти, частичные пределы, связь предела посл-тей с частичным пределом.
Пусть
дана посл-ть {
}.
Выбираем элементы с номером
<
<
<
=> числа {
,
,
,…}
образуют посл-ть {
}.
Утверждение.
=a}{для
любой её подпосл-ти {
}
}.
Доказательство.
=>
=a
=> 
Рассмотрим
}.
|
-a|<
.
Таким образом
=>
<= Для
}
=a.
{
}
также подпосл-ть посл-ти {
}=>
.
Замечание 1. Аналогичное утверждение для бесконечно больших посл-тей, т.е. посл-ть { } явл. б.б. => } явл. б.б.
Замечание 2.
Пусть {
}
имеет две сх-ся подпосл-ти {
}
и {
},
такие что 
,
тогда 
.
Предположим
противное, т.е. 
=a
=> тогда по теорме 
=a,
получаем противоречие, след-но 
.
Частичный предел пол-ти.
Определение. Бесконечный и конечный предел определённого знака наз-ся частичным пределом посл-ти { }.
Понятие о верхнем и нижнем пределе.
Мн-во
действительных чисел R,
заполненное эл-ми {+
}
и {-
}
пределов, наз-ся расширенным мн-вом
действительных чисел.
Определение.
Наибольшим в 
частичный предел посл-ти наз-ся её
верхним пределом и обозначается 
.
Наименьшим в
частичным пределом посл-ти наз-ся её
нижним пределом и обозначается 
.
14) Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Теорема: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство: (метод деления пополам).
I). Проведем построение системы отрезков.
ограниченная
.
Рассмотрим
точку
-
середину отрезка
.
1)
В отрезке
содержится бесконечное число элементов
.
Тогда
,
.
2)
В противном случае
,
,
-содержит бесконечное число элементов
.
Рассмотрим
точку
-
середину
и
так далее.
1.
2.
в
содержится бесконечное число элементов
.
3.
.
II). Выбор подпоследовательности
По
лемме о вложенных отрезках:
1)
произвольный
элемент из
2)
элемент
из
:
………………………………………………….
k)
элемент
из
:
Докажем,
что
.
0
(
).
.
15) Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
Теорема (критерий Коши): Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
Замечание: Условие необходимости (=>), условие достаточности (<=), критерий- условие необходимости и достаточности (<=>).
1) Необходимость: (=>).
Пусть
.
Возьмем произвольный
Тогда
.
.
Обозначим
,
тогда
.
фундаментальна.
2) Достаточность: (<=).
1.
фундаментальна
=>
ограниченная
.
Возьмем
,
,
тогда
.
Обозначим
.
.
ограничена.
2. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
ограниченная
=>
-
сходящаяся. Обозначим
3. Докажем, что
Возьмем
произвольный
.
фундаментальная
=>
.
Обозначим
и выберем
k>K
Тогда
.
.
То есть
16) Предел функции: два определения и их эквивалентность.
Пусть
определена
в некоторой выколотой
окрестности
т.
Определение
1 (Гейне):
,
если
,
,
Замечание:
Определение
2 (Коши):
,
если
.
.
Замечание:
,
то есть
.
Теорема: Определение 1 <=> Определение 2.
Имеем
.
.
Возьмем
произвольную
=
=>
.
Обозначим
.
Тогда
0<
.
Т.обр.
.,
то есть
17) Арифметические свойства предела функции.
Теорема:
Если существуют
и
,
то:
1).
.
2).
=
(
-
постоянная).
3).
*
.
4).
,
если
.
Доказательства:
Доопределив
по непрерывности функции
и
в точке
,
положив
=
и
=
(это изменение функций не влияет на их
пределы). В точке
будут непрерывны функции
,
,
,
(так как
=
.
Поэтому в силу равенства
=
получим:
1).
=
.
2).
=
=
3).
=
*
.
4).
=
.
18) Свойства предела функции: единственность предела; ограниченность функции, имеющей предел.
19) Свойства предела функции: предельные переходы в неравенства.
20) Односторонние пределы.
21) Первый замечательный предел.
Для
доказательства возьмем вектор
окружности радиуса 1 с центральным
углом, равным
(радиан),
и проведем
.
Тогда пл.
<
пл. сект.
<
пл.
или
.
Разделив все части этого неравенства
на
>
0, получим
или
.
Это неравенство, доказанное для любых
из интервала (0;
),
верно для любого
из
интервала (-
;
)
в силу четности функций, входящих в это
неравенство.
Докажем,
что
(
)
при
А
раз
и
,
то
.
Кроме
того:
=
1
22) Второй замечательный предел.
.
На
первый взгляд кажется, что
при
имеет пределом единицу (так как 1+
при
имеет пределом единицу, а единица в
любой степени есть единица). Но в степень
возводится
1+
,
а не единица. И вот из-за этой бесконечно
малой добавки
предел не равен единице. Чтобы
приблизительно представить себе
поведение функции
при
малых
приведем таблицу значений этой функции:
|
1/2 |
1/3 |
1/4 |
0.01 |
0.001 |
|
2.25 |
2.37… |
2.44… |
2.7047… |
2.7169… |
Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.
Доказательство:
Рассмотрим этот предел, как предел функции натурального аргумента на бесконечность. Тогда:
По определению Гейне:
=
=
Вычислим
.
Рассмотрим
=
=
.
По
определению Гейне рассмотрим
.
*
То
есть
=
=
=
.
Т
акже
=
=
=
=
1
23) Б.м. функции и их свойства.
Определение:
бесконечно
малая функция при
,
если
.
Определение:
Пусть
и
-
бесконечно малые функции при
.
Тогда:
1)
и
эквивалентны при
(
~
,
),
если
.
2)
,
-
бесконечно малые одного порядка малости
при
,
если
.
3)
-
бесконечно малая более высокого порядка
малость, чем
.
(
=
(
),
),
если
.
4).
имеет
-й
порядок малости относительно
при
,
если
.
5).
называется ограниченной относительно
бесконечно малой функции
при
,
если
.
Примеры:
1).
при
.
2).
(
,
-бесконечные
малости одного порядка).
3
).
(
)
1 0
4). …
(
)-
2-й порядок малости относительно
при
.
5).
-
произвольная.
24) Б.б. функции и их связь с б.м. функциями.
25) Сравнение б.м. функций. Примеры.
Определение: бесконечно малая функция при , если .
Определение: Пусть и - бесконечно малые функции при . Тогда:
1) и эквивалентны при ( ~ , ), если .
2) , - бесконечно малые одного порядка малости при , если . 3) - бесконечно малая более высокого порядка малость, чем .
( = ( ), ), если .
4). имеет -й порядок малости относительно при , если .
5). называется ограниченной относительно бесконечно малой функции при , если .
Примеры:
1). при .
2). ( , -бесконечные малости одного порядка).
3 ). ( )
1 0
4). …
( )- 2-й порядок малости относительно при .
5).
- произвольная.
26) Эквивалентные б.м. функции (таблица). Теорема об эквивалентных б.м. функциях.
Определение:
функция
называется
бесконечно
малой
при
,
если
=0.
Теорема (критерий эквивалентности):
Пусть , -бесконечно малые функции при .
-
.
Тогда
~
при
.
Доказательства:
( ). Пусть ~ , , то есть .
=0,
то есть .
(
).
.,
.
=1.
Теорема (о замене на эквивалентные):
Пусть
функция
~
,
~
при
и существует
,
тогда существует и
=
.
То есть выражение или функцию можно
заменять на эквивалентное.
=
*
*
=
.
1 1
27) Сравнение б.б. функций. Примеры.
28) Непрерывность функции в точке (3 определения). Свойства функций, непрерывных в точке.
Определение
1:
Функция
непрерывна
в точке
,
если
.
Определение
2:
Функция
непрерывна
в точке
,
если
,
.
Определение
3:
Функция
непрерывна
в точке
,
если
.
Свойства непрерывных функций:
Теорема
1 (локальная огр.): Пусть
функция
непрерывна
в точке
,
тогда
.
Теорема
2 (отделимость от 0): Пусть
функция
непрерывна
в точке
и
,
тогда
.
.
Теорема 3 (арифметика непрерывных функций): Пусть , непрерывны в точке , тогда:
1). непрерывна в точке .
2).
непрерывно в точке
.
3).
Если
,
то
непрерывно
в точке
.
29) Непрерывность сложной функции.
Теорема:
если функция
непрерывна
в точке
,
а функция
непрерывна
в точке
то сложная функция
непрерывна в точке
.