1. Ограниченные и неограниченные множества. Примеры.

Множество вещественных чисел   называется ограниченным сверху, если существует число b, такое что все элементы X не превосходят b:

Множество вещественных чисел   называется ограниченным снизу, если существует число b, такое что все элементы X не меньше :b: 

Множество  , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество  , не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

Примером ограниченного множества является отрезок  ,

неограниченного — множество всех целых чисел  ,

ограниченного сверху, но неограниченного снизу — луч x < 0,

ограниченного снизу, но неограниченного сверху — луч x > 0.

2) Верхняя и нижняя грани числового множества. Теорема о существовании точной верхней (точной нижней) грани множества //только II определение, эквивалентность не надо.

Точной верхней гранью числового множества ( ) называется число , такое что:

1) S- верхняя граница ( ).

2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что

> - . ( > - )

Точной нижней гранью числового множества ( ) называется число , такое что:

1) S- нижняя граница ( ).

2) Для любого положительного числа в множестве m можно найти число , такое что

+ . ( + )

Теорема существования: Пусть , , ограниченное сверху (снизу), тогда существует точная верхняя (нижняя) грань.

Замечание: (аксиома непрерывности множества действительных чисел).

Пусть , , и , , причем и : . Тогда

: и .

, , ограничено сверху.

, .

, и , .

и

1)

2) > -

Предположим противное:

: .

- ,

. Получили противоречие.

Аналогично для = .

Теорема единственности: Если числовое множество не пусто и ограничено сверху (снизу), то у него есть единственная ( ).

Введем следующие условия:

1) числовое множество ограничено сверху, если можно указать такое число , что для всех чисел из множества .

2) числовое множество ограничено снизу, если можно указать такое число , что для всех чисел из множества .

Доказательство:

Рассмотрим множество , состоящее из всех чисел , таких что для любого числа из множества будет . Такие числа существуют, так как множество ограничено сверху. В силу непрерывности множества действительных чисел существует такое число , что для любых чисел (из ) и (из ).

Покажем, что = . По определению , для всех чисел из множества будет , так что первое условие выполнено. Проверим, что выполнено и второе условие. Предположим, что оно не выполнено, т.е. есть такое положительное число ( >0), что для всех чисел из множества будет . Так как , то число не принадлежит множеству . Но это противоречит определению множества , которое было множеством всех чисел , таких что для любого числа из множества будет , а мы нашли число , тоже обладающее таким же свойством и не принадлежащее множеству . Полученное противоречие показывает, что для числа выполнено и второе условие из определения верхней грани.

3) Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Связь сходящейся и б.м. последовательнсти.

Определение: функцию называют числовой последовательностью.

- члены числовой последовательности.

- номер члена числовой последовательности.

или ,

= , -общий член.

Определение: Число называется пределом последовательности (пишут ), если для любого положительного числа ( >0) можно указать такое число , зависящее от , что для всех .

4) Б.м. последовательности и их свойства.

Определение: Последовательность будем называть бесконечно малой последовательностью, если , то есть .

Теорема: бесконечно малая последовательность.

(I)-

(II)-

(I) (II) =

(II) (I) =

Замечание: Фактически мы дали эквивалентность определений сходящейся последовательности.