Второй закон Ньютона.

В дальнейшем будем предполагать, что рассмотрение ведется в инерциальной системе отсчета. Из экспериментов было установлено, что ускорение тела вызывается действием на него других тел. Такое действие называется силой. Кроме того, было установлено, что разные тела приобретают разные ускорения под действием одна и той же силы. Т.е. тела по-разному оказывают сопротивление попыткам изменить их скорость. Это свойство тел сопротивляться изменению их скорости называют инертностью. Мерой инертности тела является его масса.

Отношение масс двух тел можно определить из отношений ускорений, которые они получают под действием равных по величине сил:

(7)

При этом сами силы измерять не нужно, достаточно чтобы сила была одной и той же. Например, если это воздействие пружиной, то достаточно измерить отношения ускорений рассматриваемых тел при одинаковом сжатии пружины. Если в качестве одной из масс выбрать эталонную массу, то мы можно измерить массу пользуясь соотношением (7). Ещё одним свойством массы является её аддитвность. Это означает, что масса тела равна сумме масс его частей:

(8)

Масса тела всегда положительна. Второй закон Ньютона связывает ускорение с массой материальной точки и действующей на эту точку силой. Математически он выглядит следующим образом:

(9)

В жизни часто встречаются ситуации, когда на тело действуют силы со стороны нескольких тел. В этом случае результирующая сила равна векторной сумме всех сил действующих на тело:

(10)

На самом деле при описании движения тела конечных размеров может необходимо учитывать, что силы приложены к разным точкам тела. Дело в том, что в таком случае тело совсем не обязательно движется поступательно. На этих вопросах мы остановимся позже, а сейчас будем считать, что уравнения (9) и (10) написаны для движения материальной точки.

Попробуем дать ответ на вопрос, можем ли мы определить закон движения материальной точки из уравнения (9). Для этого рассмотрим простейший случай . Из предыдущих лекций мы знаем, что ускорение это первая производная по времени от скорости или вторая производная по времени от радиус-вектора. Это дает:

(11)

Это, вообще говоря, простейшая система линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Простейшая, потому что правая часть не зависит от координат и времени ( ). Вспоминая определение первообразной, получаем, что скорость равна:

(12)

Где пока неизвестный постоянный вектор. Чтобы было понятно, как получилось это выражение, напишем уравнение (11) по компонентам:

	(13a)
	(13b)
	(13c)

Если записать эту систему в векторном виде, то получим (12). Постоянный вектор из уравнения найти нельзя. Он находится из начальных условий, т.е. из значения скорости в какой-то момент времени. Мы будем выбирать этот момент . Легко проверить, что как раз и есть скорость материальной точки в нулевой момент. Дальнейшее решение уравнения (11) дает:

(14)

Таким образом, в решение уравнения входят две векторные константы и равные скорости и положению материальной точки в нулевой момент времени. То обстоятельство, что решение полностью не определяется из второго закона Ньютона, является следствием того, что этот закон связывает с силой вторую производную от радиус-вектора. Когда вы будете изучать дифференциальные уравнения, Вы об этом узнаете подробнее.

Остановимся на единицах измерения силы. В системе СИ масса измеряется в килограммах (кг), а единицу измерения силы определим из второго закона Ньютона (11):

(15)

В системе СИ единица измерения силы называется Ньютон. Можно сказать, что один Ньютон это такая сила, которая сообщает телу массой ускорение :

(15a)

Подведем итог:

1. Согласно второму закону Ньютона — произведение ускорения материальной точки на массу равно силе (11) (равенство векторное)

2. Из второго закона Ньютона уравнение движения материальной точки определяются с точностью до двух векторных констант (шести скалярных). Эти константы определяются из начальных условий (начальной скорости и начального положения материальной точки)