Прикладная математика 14вар

Министерство образования Республики Беларусь

учреждение образования

Белорусский государственный университет

информатики и радиоэлектроники

Кафедра ПОИТ

Контрольная работа

по предмету:

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

Выполнил: Проверил:

Студент гр. 701022-14 Летохо А. С.

Романюк А.М.

Минск 2009

14 вариант

Задача № 1. Для графов G₁ и G₂ (рис. 14.1) построить графы G₁G₂, G₁G₂, G₁(G₂), G₂(G₁), матрицы смежности вершин А(G₁), А(G₂) и матрицы инцидентности В(G₁), В(G₂), введя предварительно нумерацию дуг. По матрицам смежности вершин исходных графов построить матрицы смежности вершин А(G₁G₂), А(G₁G₂), А(G₁(G₂)), А(G₂(G₁)). Будут ли изоморфны графы G₁(G₂) и G₂(G₁)?

Рис. 14.1

Решение:

G₁G₂ G₁∩G₂

G₁(G₂) G₂(G₁)

Таблицы 1.1 и 1.2 для нахождения дуг графов G₁(G₂) G₂(G₁) приведены ниже:

Таблица 1.1

G1	G2	G1(G2)
(1, 1)	(1, 1) (1, 3) (1, 4)	(1, 1) (1, 3) (1, 4)
(1, 3)	(3, 4)	(1, 4)
(1, 4)	(4, 2) (4, 3)	(1, 2) (1, 3)
(2, 3)	(3, 4)	(2, 4)
(3, 3)	(3, 4)	(3, 4)
(3, 4)	(4, 2) (4, 3)	(3, 2) (3, 3)
(3, 2)	(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)	(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4)
(4, 1)	(1, 1) (1, 3) (1, 4)	(4, 1) (4, 3) (4, 4)
(4, 2)	(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)	(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4)
(4, 3)	(3, 4)	(4, 4)

Таблица 1.2

G2	G1	G2(G1)
(1, 1)	(1, 2) (1, 3) (1, 4)	(1, 2) (1, 3) (1, 4)
(1, 3)	(3, 2) (3, 3) (3, 4)	(1, 2) (1, 3) (1, 4)
(1, 4)	(4, 1) (4, 2) (4, 3)	(1, 1) (1, 2) (1, 3)
(2, 1)	(1, 2) (1, 3) (1, 4)	(2, 2) (2, 3) (2, 4)
(2, 2)	(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)	(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)
(2, 3)	(3, 2) (3, 3) (3, 4)	(2, 2) (2, 3) (2, 4)
(2, 4)	(4, 1) (4, 2) (4, 3)	(2, 1) (2, 2) (4, 3)
(3, 4)	(4, 1) (4, 2) (4, 3)	(4, 1) (4, 2) (4, 3)
(4, 2)	(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)	(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)
(4, 3)	(3, 2) (3, 3) (3, 4)	(3, 2) (3, 3) (3, 4)

Графы G₁(G₂) и G₂(G₁) не изоморфны так как перестановкой строк и столбцов A(G1(G2)) и A(G2(G1)) нельзя добиться их эквивалентности.

Задача № 2. При условии, что петля считается двойным ребром, для графов G₁ и G₂ (рис. 14.2) построить матрицы смежности вершин А(G₁) и А(G₂), введя предварительно нумерацию рёбер, построить матрицы инцидентности В(G₁) и В(G₂). По матрицам смежности вершин исходных графов построить матрицы смежности вершин А(G₁G₂) и А(G₁G₂).

Рис. 14.2

Задача № 3. Построить код (G) по дереву G (рис. 14.3) и восстановить G.

7 8

2 1 3 6 9

4 5

Рис. 14.3

Построение

(1)

(1,3)

(1,3,3)

(1,3,3,3)

(1,3,3,3,3)

(1,3,3,3,3,6)

(1,3,3,3,3,6,6)

Востановление

1333366

123456789

333366

13456789

33366

3456789

3366

356789

366

36789

66

3689

6

689

69

Задача № 4. По алгоритму Краскала построить для нагруженного графа G, изображенного на рис. 14.4, минимальный каркас G₁ с указанием последовательности выбора рёбер e_i. Определить вес построенного каркаса (G₁).

v₂ 4 v₄

2 1 8 v₃ 2 3 3

v₁ 3 v₅ v₆

2

7 5 3 6

v₉ 4 v₈ 8 v₇

4

Рис. 14.4

µ(G1) = 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 = 18

Задача № 5. В графе G, изображённом на рис. 14.5, найти все максимальные внутренне устойчивые множества вершин, наибольшие независимые множества и число внутренней устойчивости (G).

Рис. 14.5

Построим матрицу смежности графа:

Найдем множество внутренней устойчивости методом Магу

1. По единицам матрицы строим парные дизъюнкты:

2. преобразуем в ДНФ, выполнив все возможные поглощения и операции идемпотентности:

3. Для полученной конъюнкции выписываем недостающие вершины, образующие множество внутренней устойчивости: {v₂},{v₄}

Максимальное из таких множеств дает число внутренней устойчивости (здесь число внутренней устойчивости (G)=1)

Найдем множество внешней устойчивости методом Магу:

1. по главной диагонали матрицы смежности проставляем единицы:

2. выписываем построчные дизъюнкции:

3. Преобразуем в ДНФ, выполняя все возможные поглощения и операции идемпотентности:

Эти конъюнкции и дают множества внешней устойчивости:

{v₁, v₂}, { v₁, v₂, v₄}, { v₁, v₂, v₃}, { v₁, v₂, v₃, v₄}, { v₁, v₃, v₄}, { v₂, v₃, v₄}, }, {v₂, v₄}, {v₃, v₄}, минимальные из них - множества {v₁, v₂}, {v₂, v₄} и {v₃, v₄}.

Задача № 6. Построить максимальный поток и разрез с минимальной пропускной способностью в транспортной сети, приведённой на рис. 14.6, по алгоритму Форда-Фалкерсона.

Рис. 14.6

Шаг 0. В сети пропущен поток f величиной f_t=5.

Шаг 1. Помечаем узел s пометкой (s⁺, +).

Шаг 2. Из узла s можно пометить узел c пометкой (s⁺, 2), из узла c можно пометить узел t пометкой (c⁺, 2).

Шаг 3. Построен (s, t)-путь, насыщающий поток, {s, c, t}, состоящий из двух прямых дуг. ₁=2, ₂=2, следовательно, =2. На дугах (s, c) и (c, t) увеличиваем значение потока на 2, тем самым построен новый поток f₁ (см. рис. 14.7).

Рис. 14.7

Шаг 1. Помечаем узел a пометкой (s⁺, +).

Шаг 2. Из узла s можно пометить узел a пометкой (a⁺, 1), из узла a можно пометить узел b пометкой (a⁺, 1), и узел t получает пометку (b⁺, 2).

Шаг 3. Построен (s, t)-путь, насыщающий поток, {s, a, b, t}, состоящий из трёх прямых дуг. ₁=1, ₂=1, ₃=2, следовательно, =1. На дугах (s, a), (a, b), (b, t) увеличиваем значение потока на 1, тем самым построен новый поток f₂ (см. рис.14.8).

Рис. 14.8

Шаг 1. Помечаем узел t пометкой (t⁺, +).

Шаг 2. По рис. 14.11 видно, что узел s помечен быть не может, т.к. на всех дугах, входящих в s, т.е. (s, a), (s, d) (s, c), c(e)=f₅(e). Из узла t можно пометить узел b с пометкой (t^–, 4) и d с пометкой (t^-, 1). Из узла d можно пометить узел a пометкой (d⁺, 1) и c с пометкой (d⁺, 3). Для выделения подчеркнём все помеченные и просмотренные узлы.

s

a (d⁺, 1)

b (t^-, 4)

c (d⁺, 3)

d (t^-, 1)

t (t⁺, +∞)

Таким образом, в сети построен разрез (Х, )={(s, a), (s, d) (s, c)}, где X={ a, b, c, d, t}, ={s}, с пропускной способностью c(X, ) = 4+2+5 = 11 и максимальный поток f₅ величиной 11.

Задача № 7. Доказать справедливость тождества для произвольных множеств А и В:

А\В=(АВ)А.

(АВ)А = ((A∩B)UA)\((A∩B)∩A)

А\В

A∩B

((A∩B)UA)

((A∩B)∩A)

((A∩B)UA)\((A∩B)∩A)

Откуда видно что (АВ)А = ((A∩B)UA)\((A∩B)∩A) =(АВ)А

Задача № 8. Доказать, что множества Х и Y равномощны, построив взаимно-однозначное соответствие между ними.

Х=[0,1], Y=[10,11]{12}.

Выделим в множестве Y =[10,11]{12} подмножество Y1=[10,11],а в множестве X=[0,1] подмножество X1=[0, 0,5]{1}.

Множество X равномощно подмножеству Y1 так как зависимость между ними Y1=X+10, а множество Y равномощно подмножеству X1 так как Y = 2*X1+10

Согласно теореме 1.5.,если множество А равномощно подмножеству В1 множества В, а множество В равномощно подмножеству А1 множества А, то множества А и В равномощны, множества X Y – равномощны.

Задача № 9. Даны три вещественных функции:

f(x)= –3х⁴+6, g(x)= –5x+12, h(x)=7^x+29.

1) Найти заданные композиции функций: fgh, hgf, hff.

2) Являются ли f, g, h инъекциями, сюръекциями, биекциями на R?

3) Найти обратные функции к f, g, h. Если функции со своими областями определения обратных не имеют, то найти обратные функции к их сужениям.

1) D(f)=D(g)=D(h)=R, поэтому все три указанные композиции функций определены на R.

fgh(x)=f(gh(x))=-3(gh(x))⁴+6=-3(-5h(x)+12)+2)⁴+6=-3(-5(7^x+29)+2)⁴+6

hgf(x)=h(gf(x))= 7^gf(x)+29 =7^-5f(x)+12+29=7^-5f(x)+12+29

hff(x)= 7^ff(x)+29=7^-3f(x)4+6+29 =7^{-3(-3x4+6)4+6}+29.

2) Рассмотрим функцию f(x)=-3x⁴+6. Производная функции =-12x³ не является больше 0 на интервале (-;+∞). Поэтому f не инъективна.

Функция f по теореме 3.2 не является сюръекцией на R. Итак, f: RR – не биекция.

Рассмотрим функцию g(x)=-5x+12. Производная функции g : для любого xR}, поэтому g является строго убывающей функцией на (–,+). Поэтому f инъективна Итак, g: RR является биекцией.

Рассмотрим функцию f(x)=2x⁹–7. Производная функции =18x⁸>0 для всех xR\{0}, поэтому f является строго возрастающей функцией на (–,0)(0,+). =0, f(0)= –7f() для 0. Поэтому f инъективна.

Функция f непрерывна на R. и . Поэтому f является сюръекцией на R. Итак, f: RR – биекция.

Рассмотрим функцию h(x)=. Производная функции h : для xR, следовательно, h(x) строго возрастает на R, значит, h(x) – инъекция. 0<7^x<+ для всех xR, , -29<<+ для всех xR. Значит, h не является сюръекцией на R. Итак, h: RR не является биекцией.

3) Поскольку f не инъекция то найдём обратную функцию к сужению:

–3х⁴+6 =y

–3х⁴=y-6

х⁴ =(-y/3)+2

Итак, , xR.

Поскольку g: RR – биекция, то по теореме 3.1 на R существует обратная функция к g – g ^–1: RR.

–5x+12=y

–5x=y-12

x=-0.2y+2.4

Итак, .

Е(h)=(–29;+). Поскольку h – инъекция на R, то h: RE(h) – биекция. Тогда по теореме 3.1 для функции h существует обратная функция h ^–1: E(h)R.

5^x+29=y;

5^x=(y-29);

x=log₇(y-29).

Итак, h ^–1(x)=log₇(x-29), x(–29;+).

Задача № 10. Является ли транзитивным бинарное отношение R₁R₂, если отношения R₁ и R₂ транзитивны? В случае отрицательного ответа необходимо привести конкретный пример.

Не является. Покажем это на примере:

Для транзитивного R1 для параллельных прямых a1 b1 c1 : a1||b1 b1||c1 то и a1||c1.

Для транзитивного R2 для параллельных прямых a2 b2 c2 : a2||b2 b2||c2 то и a2||c2.

Для R₁R₂ в общем случае не являются параллельными a1 a2 ,b1 b2, c1 c2 , a1 b2 и т. д.

19