Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матан(ответы,)

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

13.07.2019

Размер:

67.75 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Необходимый минимум определений и утверждений

Отображение (функция).

Пусть имеются 2 множества Х и У. Говорят, что имеется функция, определенная на Х, если в силу некоторого закона(правила) f каждому элементу х из Х соответствует элемент у из У

Взаимообратное отображение (биективное отображение).

f(X)=Y(сюръективность)
Если для любых х1 и х2 из Х f(x1)=f(x2) следует, что х1=х2. То есть различные элементы имеют различные образы. (инъективность)

f(x)=y, то f^-1(y)=x

Равномощные множества.

Это множества, между которыми можно установить взаимооднозначное соответствие.

Счетные и несчетные множества.

Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел называется счетным. Если бесконечное множество неэквивалентно множеству натуральных чисел, то оно называется бесконечным.

Верхняя (нижняя) грань.

Не пустое множество А из R называется ограниченным сверху, если существует число b из R, такое, что для любого а из R a<=b. b называют верхней гранью.

Принцип вложенных отрезков.

Пусть М – система вложенных отрезков, тогда существует ч такой, что для любого I из М все отрезки из М имеют общую точку.

Предел числовой последовательности.

Число А называется пределом числовой последовательности {Xn}, если для любого E(эпсилон)>0 найдется такой номер, начиная с которого выполняется неравенство |Xn-A|<E.

Критерий Вейерштрасса сходимости числовой последовательности.

Пусть {Xn}-неубывающая(невозрастающая) последовательность. Тогда Хn сходится тогда и только тогда Хn ограничена сверху(снизу).

Число e.

e =

Лемма Больцано-Вейерштрасса.

Любая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

{Xn} сходится ↔ для любого Е>0 существует N такое что для любого n>N для любого n’>N

|x_n-x_n’|<E

Верхний и нижний пределы числовой последовательности.

Число α(конечное, +∞ или -∞) называется верхним (нижним) пределом последовательности {Xn}, если существует подпоследовательность {Xn_k}, сходящийся к нему и при этом всякая другая подпоследовательность последовательности {Xn} сходится к числу не большему(не меньшему) чем α.

Элементарные функции (определение, графики).

Целая и дробные рациональные функции.
Степенная функция.
Показательная функция.
Логарифмическая функция.
Тригонометрические функции.
Обратные тригонометрические функции.

(написать все возможные функции каждого вида и построить графики)

Предел функции.

Говорят, что функция f(x) имеет предел, конечный или нет, при xa, если какую бы последовательность с пределом а, извлеченную из Х, не пробегала независимая переменная х, соответствующая последовательность значений функций f(x₁),f(x₂)…f(xn)… всегда имела предел А.

Критерий Коши существования предела функции.

Функция f(x) имеет пределом число А при xa, если для каждой δ>0 |f(x)-A|<E лишь только |x-a|<δ.

Два замечательных предела.

1ой замечательный предел:

2ой замечательный предел:

Понятие непрерывности функции в точке.

-Функция f(x) называется непрерывной в точке х=х ₀

Если =f(x₀).

Если это соотношение не выполняется, то в этой точке функция имеет разрыв.

- Функция f(x) называется непрерывной в точке х=х ₀

Если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое при ращение функции.

Классификация точек разрыва.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва 1ого рода, если существуют конечные, односторонние пределы f(x-0) и f(x+0). Если один из указанных пределов не существует, то точка разрыва называется точкой разрыва 2ого рода.

Теорема Вейерштрасса о максимальном значении.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке с то:

Она ограничена, то есть существует конечное m и M, такое, что m≤f(x)≤M, при a≤x≤b.
f(x) достигает на этом отрезке точных верхней и нижней границ, то есть точка, где функция принимает максимальное значение и есть точка, где функция принимает минимальное значение.

Равномерная непрерывность.

Функция f(x) называется равномерно непрерывной на Х, если .

Теорема Кантора о равномерной непрерывности.

Пусть f(x) непрерывна на [a,b], тогда f(x)-равномерно непрерывна на [a,b].

Дифференцируемость функции в точке.

Говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x₀,

Если:

Модно представить в виде:

Производная в точке, дифференциал.

Если существует предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению независимой переменной х при :

То он называется производной f(x) по независимой переменной х в точке х=х₀

Дифференциалом функции f(x) называется выражение =dy=df (из предыдущего определения)

Геометрический смысл производной и дифференциала.

Геометрический смысл производной

y’(x)=tgα, где α-это угол между касательной к графику y(x) и положительным направление оси OX.

Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал dy есть приращение ординаты касательной.

Таблица производных.

Дифференцирование композиции функций.

Производные арифметических операций.

Требуется дифференцируемость функций f(x) и g(x) в точке х. Тогда:

1) (с*f(x))’=c*f’(x), c=const.

2) (f(x)+(-)g(x))’=f’(x)+(-)g’(x)

3) (f(x)*g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)

Производная сложной функции:

Пусть:

1) имеет в точке производную

2) y=f(u) имеет в соответствующей точке производную, тогда сложная функция y=f( (x)) также имеет сложную производную и:

Или:

y_x’=y_u’* u_x’

Дифференцирование обратной функции.

Пусть

1)f(x) и g(y) взаимно обратные функции

2) f(x) и g(y) непрерывны в точке х₀ и y₀=f(х₀)

3) f(x) в точке х₀ имеет производную не равную нулю

Тогда в точке y₀ функция g(y) имеет производную равную g’(y₀)=1/f ' (х₀)

Производные высших порядков (формула Лейбница).

Теорема Ферма.

Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке Х и во внутренней точке С принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если в этой точке существует конечная производная f'(c) то f’(c)=0.

Теорема Ролля.

Пусть

f(x) – непрерывна на отрезвке АВ
существует конечная производная f'(x) во всех точках на интервал (а,b)
f(a)=f(b)
тогда существует точка С из (a,b) такое что f’(c)=0.

Теорема Лагранжа.

Пусть

1)f(x)-непрерывна на [a,b]

2) существует производная в каждой точке интервала (a,b), существует точка С из (a,b)

Теорема Коши.

1)Пусть f(x) и g(x) непрерывны на [a,b],

2)Существует производная f'(x) и g’(x) на интервале (a,b)

3)g’!=0 на (a,b)

Тогда существует точка С из (a,b) такая что:

Формула Тейлора с формами Лагранжа и Пеано остаточного члена.

Лагранжа

Пеано

Применение дифференциального исчисления к исследованию функций: монотонность, экстремумы, выпуклость.

Утв.: Пусть f(x) дифференцируема на (a,b), тогда если:

f’(x)>0  ф-ия возрастает  f’(x)

f’(x) 0  ф-ия не убывает  f’(x)

f’(x) =0  ф-ия f(x)=const  f’(x)

f’(x) 0  ф-ия не возрастает  f’(x)

f’(x)>0  ф-ия убывает  f’(x)

Опр.: Ф-ия f(x) имеет максимум(минимум) (экстремум ф-ии), если такая, что ( )

Теорема 1: Пусть в окрестности точки конечная производная ф-ии f(x) и справа от , и слева от производная сохраняет определенный знак

Если f’(x) при переходе ч/з меняет знак «+» на «-», то точка явл-ся точкой строгого максимума
Если f’(x) при переходе ч/з меняет знак «-» на «+», то точка явл-ся точкой строгого минимума
Если f’(x) при переходе ч/з не меняет знак, то экстремума нет

Теорема 2: Пусть f(x) имеет производную f ’(x) в окрестности точки и производную f ”(x) в точке и f ’( )=0.

Если f ”( )>0, то - точка минимума

Если f ”( )<0, то - точка максимума

Теорема 3: Пусть ф-ия f(x) имеет в точке производный до порядка n включительно. Если

f ’( )=f ”( )=…= и , то при нечетном n в точке нет экстремума, а при четном n точка явл-ся точкой экстремума, причем если - точка минимума

если – точка максимума

Опр.: График ф-ии наз-ся выпуклым вверх (вниз) в точке , если окрестность точки такая, что для всех точек этой окрестности касательная к кривой в точке расположена выше (ниже) кривой.

Опр.: Ф-ия выпукла вверх (вниз) на [a,b], если каждая дуга графика этой ф-ии лежит не ниже (не выше) стягивающей ее хорды.

Опр.: Точка перегиба – точка графика дифференцируемой ф-ии, при переходе ч/з которую график меняет выпуклость вверх на выпуклость вниз или наоборот.

Теорема 4: Если 2ая производная ф-ии y=f(x) положительна (отрицательна) на (a,b), то график этой ф-ии явл-ся выпуклым вниз (вверх) на этом интервале.

Теорема 5: Если 2ая производная ф-ии y=f(x) обращается в точке в 0 и при переходе ч/з эту точку меняет знак, то точка ( ) графика данной ф-ии явл-ся точкой перегиба.

Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.

I. Пусть

1)f(x) и g(x) определены на (a,b)

3) На [a,b] существует конечная производная f’(x) и g’(x) при чем g’(x)!=0

4)существует конечный или нет

Тогда

II. Пусть

1)f(x) и g(x) определены на [c,+∞)

3) На [c,+∞) существует конечная производная f’(x) и g’(x) при чем g’(x)!=0

4)существует конечный или нет

Тогда

III. Пусть

1)f(x) и g(x) определены на [a,b],

3) На [a,b] существует конечная производная f’(x) и g’(x) при чем g’(x)!=0

4)существует конечный или нет

Тогда

Открытые и замкнутые множества.

Множество, целиком состоящее из внутренних точек, называется открытым.

Множество называется открытым, если оно содержит каждую точку вместе с Е (эпсилон) окрестностью.

Понятие предела функции многих переменных.

Функция имеет пределом число A, при ММ₀( ), если для:

Двойные и повторные пределы.

Дифференцируемость функции многих переменных.

Дифференциал функции многих переменных.

Частные производные функции многих переменных.

Частная производная функции f(x,y,z) в точке (x₀,y₀,z₀) называется

Производная по направлению.

Если с каждой точкой М, определенной пространственной области, связана некоторая скалярная или векторная величина, то говорят, что задано поле этой величины, соответствующее скалярное или векторное.

Пусть l-направленная прямая, Мо принадлежит l фиксированная точка. М принадлежит l-движется. Будем считать величину направленного отрезка МоМ>0, если направление МоМ совпадает с направлением оси l и <0 иначе.

Производной функции V(M) в точке Мо по направлению l называется предел:

Градиент функции.

Если V(M)-скалярное поле, то вектор

-называется градиентом поля.

Формула Тейлора функции многих переменных.

Рассмотрим ф-ию 2х переменных, которые в окрестности точки ( ) имеет непрерывные производные до n+1го порядка. Придадим приращения соответственно.

Утв.: (0< <1), где дифференциалы dx и dy равны и .

Необходимое условие экстремума функции многих переменных.

Пусть функция u=f(x1,x2…xn) в точке ( , … ) имеется экстремум. Если в этой точке существуют конечные и частные производные, то они равны 0.

Достаточное условие экстремума функции многих переменных.

Пусть (х0,y0)-стационарная точка

1)если a₁₁*a₂₂- >0, то в точке (х0,y0) функция f(x,y) имеет экстремум. При чем это максимум при а11<0 и минимум при а11>0.

2) Если a₁₁*a₂₂-

Первообразная. Неопределенный интеграл.

F(x)-первообразная от функции f(x) на промежутке Х, если на Х F’(x)=f(x) (dF=f(x)dx)

Выражение F(x)+C, где F(x)-первообразная от функции f(x) и С произвольная постоянная называется неопределенным интегралом от функции f(x).

Таблица неопределенных интегралов.
Замена переменных в неопределенном интеграле.

Если ,

то

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Пусть u=u(x), v=v(x)- непрерывные, дифференцируемые функции, тогда:

Интегральная сумма.

Рассмотрим задачу определения площади криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a,b] точками a=x0<x1<…<xn=b

Пусть

Площадь i-того прямоугольника y_i =f( )

Тогда приближенное значение площади

S=lim

Определенный интеграл Римана.

Число I называется определенным интегралом Римана. если для любого Е>0 существует δ>0 такая что для любого разбиения с |λ| <δ и для любого выбора точек c|I-σ|<E, где:

Необходимое условие интегрируемости (определенный интеграл).

Пусть f(x) интегрируема на [a,b], тогда она ограничена на [a,b].

Достаточное условие интегрируемости (определенный интеграл).

Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было:

Где

Первая теорема о среднем.

Пусть:

g(x) и f(x) интегрируемы на [a,b],
g(x) не меняет знак на [a,b],

тогда:

Где:

Если при это f(x) непрерывна, то , где с из[a,b].

Вторая теорема о среднем.

Пусть:

1)g(x) и f(x) интегрируемы на [a,b]

2) g(x) монотонна на [a,b]

Тогда:

Формула Ньютона-Лейбница.

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Замена переменных в определенном интеграле.

Пусть

Пусть на существует непрерывная производная , тогда для любой непрерывной функции f(x) верна формула:

Длина кривой. Вычисление длины кривой.

Несобственный интеграл Римана.

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.

Для сходимости несобственного интеграла:

Необходимо и достаточно, чтобы:

Абсолютная (условная) сходимость несобственного интеграла.

Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Если интеграл сходится, но не абсолютно, то его называют условно сходящимся.

Интеграл:

Называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл:

Теорема сравнения (несобственный интеграл).

Если существует

и f(x)

То из сходимости

а из расходимости 1ого интеграла при k>0 следует расходимость 2ого.

При 0<k< оба интеграла сходятся или расходятся одновременно.

Признак Абеля-Дирихле сходимости интеграла.

Пусть f,g определены на [a, ] и интегрируемы на [a,A] для любого А>а . Тогда сходится, если выполняется:

Либо пара условий

Либо пара условий:

Ф(b)= -ограничена

g(x)-монотонна стремится к нулю при x

Числовой ряд. Сходимость числового ряда.

Пусть дана числовая последовательность:

Их сумма называется числовым рядом, а числа членами ряда:

Если последовательность {Sn} имеет конечный или бесконечный предел S, то он называется суммой ряда. Если эта сумма конечна, то ряд называется сходящимся.