10. Эмпирическая и аналитическая кривые обеспеченности расходов. Способы их построения.

Для вычисления параметров Q_ср С_v C_s расходы необходимо расположить в убывающем порядке. Средний многолетний расход вычисляем по формуле .

Затем вычисляем модульные коэффициенты К как отношении .

Для проверки вычислений следует помнить, что сумма значений К должна равняться общему числу членов ряда n.

Вычисляем отклонения от середины (К-1).Для проверки: сумма (К-1) должна быть равна нулю. Затем подсчитаем (К-1)². Практически, вследствие погрешностей при округлении чисел, сумма К незначительно отличается от n, а сумма (К-1) от нуля. По данным рассчитывается: , ,.

Определяем среднюю квадратическую ошибку вычисления коэффициентов вариации:

.

Средняя квадратическая ошибка коэффициента асимметрии равна: .

Если данная ошибка получилась намного выше среднего значения, для построения кривой обеспеченности берем C_s= 2С_v

Зная величины параметров Q_ср С_v C_s вычисление теоретической кривой обеспеченности средних годовых расходов производим по таблице С.И. Рыбкина –П.А. Алексеева в которой даны относительные отклонения от середины ординат интегральной кривой при С_v = 1.00 и различных процентах обеспеченности Р.

По данным приложения определяем значения ординат φ при заданном C_s. По найденным данным производим построение кривой.

11. Законы распределения вероятностей при математическом описании процесса стока.

В нашей стране чаще всего используются двух – и трехпараметрическое гамма-распределения. Первое из них часто называют кривой Пирсона третьего типа, второе – распределением Крицкого-Менкеля. И то и другое распределения имеют область, где функция отлична от нуля: (0, 8). Принимая в качестве верхней границы +8, гидрологи считают, что такое событие имеет практически нулевую вероятность. Появление нуля в качестве нижней границы рассматривается как чрезвычайно маловероятное событие, тождественное абсолютному пределу снижения расходов воды в реке.

Наибольшее распространение в гидрологии получило трех-параметрическое гамма-распределение Крицкого—Менкеля, которое названо в честь авторов, его предложивших.

где х—расходы; у, b — параметры, каждому сочетанию которых соответствуют определенные значения коэффициента вариации С_v и коэффициента асимметрии C_s; Г (γ)—гамма-функция Эйлера.

Гамма-функцией или интегралом Эйлера второго рода называется функция вида

, Г(1) =Г(2) = 1; Г(α +1) = α Г(α ); Г(1/2) =

Кроме трехпараметрического гамма-распределения в гидрологических расчетах используют теоретические кривые распре­деления других типов: распределение Пирсона III типа, нормальное распределение или распределение Гаусса, логарифми­чески нормальное распределение и т. д.

Кривая Пирсона III типа

Нетрудно видеть, что данное выражение – это частный случай трехпараметричекого распределения Крицкого-Менкеля при b=1.

Распределение Гаусса или нормальное распределение

Если коэффициент асимметрии равен нулю, то кривая распределения становится симметричной. Наиболее разработанным и известным в статистике и теории вероятностей симметричным распределением является распределение Гаусса, или нормальное распределение. Одним из возможных приемов его использования является нормализация или трансформация гидрологи­ческих величин.

Логарифмически нормальное распределение описывается функцией

В непосредственном виде это распределение в гидро­логии употребляется также редко.

Задача гидрологических расчетов и заключается в определении этих параметров, причем желательно определить эти параметры так, чтобы они были близки к тем параметрам речного стока, которые будут иметь место на рассматриваемых реках в течение расчетного периода эксплуатации ГЭС.

Применительно к гидрологическим расчетам существует не­сколько критериев оценки качества параметров — состоятельность, несмещенность и эффективность.

Состоятельность подразумевает сходимость оценки по вероятности с увеличением объема выборки п, что приводит к повышению точности оценки при удлинении периода наблюдений за стоком.

Несмещенность состоятельных оценок подразумевает равенство центрального значения параметра по выборке истинному ее значению для генеральной совокупности (или ряду бес­конечной длительности). Для оценки меры качества используют дисперсию оценки, характеризующую степень отклонения парамет­ра от истинного значения.

Эффективность оценки параметра определяется при наличии нескольких методов оценки. При этом оценка считается эффективной, если она обладает наименьшей дисперсией.

Теоретические кривые обеспеченности, получившие наибольшее распространение в гидрологических расчетах, определяют параметрами: средней величиной X, коэффициентом вариации С_v, коэффициентом асимметрии C_s.

Таким образом нужно вычислить:

1. Средний расход реки, где n – объем выборки. В математической статистике аналогичная характеристика называется математическим ожиданием.

2. Второй параметр коэффициент изменчивости или вариации, который связан с параметром гамма соотношением: 1: на квадрат коэффициента вариации. .Коэффициент изменчивости является одной из характеристик интенсивности колебаний расходов реки вокруг среднего значения.

Другими такими характеристиками (т.е. определяющими интенсивности колебаний расходов вокруг среднего значения), имеющими важное значение при статистической оценке параметров, являются дисперсия D и стандарт σ.