ГФ ВМУРОЛ «Украина»
Кафедра компьютерных систем и сетей
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
(РГР) 2 КУРС, I СЕМЕСТР
Горловка, 2008
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Неопределенный интеграл
Прежде чем приступить к интегрированию функций, тщательно, изучите таблицу интегралов, простейшие свойства неопределенного интеграла и два простейших метода интегрирования: метод замены переменной и способ подстановки. Успех интегрирования в значительной степени зависит от того, сумеем ли мы подобрать удачную замену переменной упрощающую данный интеграл.
При
использовании метода интегрирования
по частям очень важно правильно выбрать
множители
и dv.
Хотя
общих правил разбиения подинтегрального
выражения на указанные множители нет,
тем не менее можно руководствоваться
некоторыми частными правилами. Например,
если подинтегральная функция представляет
собой произведение показателей или
тригонометрической функции и многочлена,
то в качестве множителя u
следует выбирать многочлен. Если же
подинтегральная функция является
произведением логарифмической или
обратной тригонометрической функции
и многочлена, то в качестве множителя
u
следует выбрать логарифмическую или
обратную тригонометрическую функцию.
При интегрировании выражения, содержащего в знаменателе квадратный трехчлен целесообразно привести этот трехчлен к виду с выделенным полным квадратом.
При интегрировании рациональных дробей (в задачах № 61 – 80) основная трудность заключается в умении интегрировать правильные рациональные дроби следующих трех типов:
(k
− целое положительное число, не меньшее,
чем 2);
(корни
знаменателя невещественные, т.е.
<<0).
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определение первообразной.
2. Каковы основные свойства неопределенного интеграла?
3.Укажите целесообразные подстановки для отыскания интегралов
4. Выведите формулу интегрирования по частям.
5. Объясните правило разложения рациональной дроби на простейшие.
Определенный интеграл
При
решении задач контрольной работы следует
иметь в виду, что для вычисления площади,
ограниченной кривыми
и прямыми х
= а,
х
= b,
следует пользоваться формулой
При
этом избранная формула остается верной
при любых знаках значений функций
.
При вычислении площади фигуры, ограниченной кривой, уравнение которой задано в полярных координатах, полезно кривую изобразить в системе координат.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется интегральной суммой данной функции f(x) на данном отрезке [а, b]?
2. Дайте определение определенного интеграла.
3. Каков геометрический смысл определенного интеграла от заданной функции?
4. Перечислите основные свойства определенного интеграла.
5. Напишите формулу Ньютона − Лейбница.
6. В чем состоит способ подстановки для вычисления определенного интеграла?
7. Как выглядит формула интегрирования по частям для определенного интеграла?
8. Как вычислить площадь криволинейного сектора в полярных координатах?
9. Запишите формулы для вычисления длины дуги кривой в декартовых и полярных координатах.
10. Запишите формулу для вычисления объема тела с известными площадями его поперечных сечений.
11. Запишите формулу для вычисления объема тела вращения. Запишите формулу для вычисления объема тела с известными площадями его поперечных сечений.
Функции многих независимых переменных
Для решения задач по этой теме обратите внимание на то, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, указанными для функций одного аргумента, и если отыскивается, например, частная производная по перменной х, то переменная у считается при этом константой.
Обратите внимание на вычисление производной по заданному направлению и на связь этой производной с градиентом функции.
При исследовании функции z=f (х, у) на экстремум (при условии, что она дважды дифференцируема) пользуйтесь следующими правилами:
найдите частные производные функции z=f (х, у и решите систему уравнений
Точки,
в которых частные производные равны
нулю, называются стационарными точками.
Пусть одна из них
Найдите частные производные второго порядка функции z =f ( х, у) и вычислите их значения в точке
Положим
3) Вычислите определитель
Если
окажется, что
,
то функция z
=f
(
х,
у)
в точке
имеет
максимум при А< 0 и минимум при А>0;
если же
,
то в точке
экстремума нет. Наконец, если
то
вопрос об экстремуме в этой точке
остается открытым и требует дополнительного
исследования.
Вопросы для самопроверки
1. Как определяется функция нескольких переменных?
2. Дайте определение непрерывности функции нескольких переменных.
3. Что называется частной производной функции нескольких переменных?
4. Какова геометрическая интерпретация частной производной функции двух аргументов?
5. Что называется полным дифференциалом функции двух аргументов?
6. Как вычисляется производная сложной функции?
7. Как вычисляется производная по направлению и какова ее связь с градиентом функции?
8. Сформулируйте правило исследования функции двух переменных на экстремум.