![](/user_photo/1144_wzNgE.jpg)
При этом процесс ортогонализации можно осуществить по рекурентной формуле
Здесь
произвольный базис евклидова пространства,
а
ортонормированный.
41
Линейный оператор. Основные понятия
Определение.
Если каждому
элементу
из линейного пространства X
ставится в соответствие единственный
элемент
из линейного пространства X,
то говорят, что задан оператор, действующий
в пространстве X.
Результат действия
оператора A
на элемент
обозначают
.
Если
элементы
и
связаны соотношением
,
то
называют образом
;
а
— прообразом
.
Множество элементов пространства X, для которых определено действие оператора A, называют областью определения оператора A и обозначают D(A).
Множество
элементов пространства X,
которые являются образами элементов
из области определения D(A)
оператора A,
называют образом
оператора
A
и обозначают Im(A).
Если
,
то
.
Ядром оператора
называется множество элементов линейного
пространства X,
образом которых является нулевой
элемент. Ядро оператора обозначают
Ker(A):
.
Определение.
Оператор
A,
действующий в линейном пространстве
X,
называется линейным
оператором,
если для любых
из X
и для любого действительного числа α
справедливо:
-
;
-
.
Матрица линейного оператора
Пусть
— линейный оператор, действующий в
n-мерном
линейном пространстве X,
.
Это означает, что
в некотором базисе
в
X
имеют место разложения:
.
Поскольку A — линейный оператор, то
Но
следовательно,
т.е.
—
вектор из X,
компоненты которого — координаты образа
базисного вектора
Продолжим вычисления:
Обозначим
.
Тогда
т.е.
.
Формула
связывает вектор-столбец
координат образа с вектором-столбцом
координат прообраза.
Определение. Матрица, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов некоторого базиса в X, называется матрицей линейного оператора A в данном базисе:
.
Обратите
внимание, теперь и в дальнейшем A
(полужирная) — обозначение линейного
оператора, A(светлая) или Ae
— обозначение матрицы оператора A
в некотором базисе или в базисе
.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема
(связь координат образа и прообраза).
Если в пространстве X определен некоторый
базис, и
,
— вектор (столбцы) из X то векторы-столбцы
их координат
и
в
этом базисе связаны соотношением
,
где A — матрица оператора A в
этом же базисе.
Между множеством линейных операторов, действующих в n-мерном линейном пространстве X, и множеством квадратных матриц порядка n можно установить взаимно однозначное соответствие.
45
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
Определение.
Пусть A
— линейный оператор, действующий в
линейном пространстве X. Число
называется собственным значением, а
ненулевой
вектор
из
X — соответствующим собственным вектором
оператора A,
если они связаны между собой соотношением.
Примеры.
1.
Нулевой
оператор:
,
т.е.
— собственное значение нулевого
оператора, а соответствующие собственные
векторы — все ненулевые векторы
пространства X.
2.
Тождественный (единичный) оператор I:
— т.е.
собственное значение тождественного
оператора, а соответствующие собственные
векторы — все ненулевые векторы
пространства X.
3.
Оператор P2
— оператор проектирования пространства
R3
на подпространство R2
параллельно вектору
:
,
, т.е.
— собственное значение оператора,
проектирования, а соответствующие
собственные векторы — все ненулевые
векторы X,
третья
координата которых равна нулю:
.
Пусть A— матрица оператора в некотором базисе в X .
Собственные
значения оператора и соответствующие
им собственные векторы связаны
соотношением
,
или, что то же самое,
, где E
— единичная матрица, а
— нулевой вектор X.
Это означает, что собственный вектор
оператора является ненулевым решением
линейной однородной системы
.
Ненулевое решение однородной системы
(система нетривиально совместна),
существует тогда и только тогда, когда
определитель матрицы системы равен
нулю, т.е.
.
Следовательно, собственные значения
линейного оператора могут быть вычислены
как корни уравнения
,
а собственные векторы — как решения
соответствующих однородных систем.
Определение.
Уравнение
называется характеристическим уравнением
оператора, а многочлен
—
характеристическим многочленом
оператора.