МатАнализКР-3, 1 вариант
.docx1 вариант
-
Понятие первообразной функции. Теоремы о первообразных.
Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х) функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна.
Это утверждение можно продемонстрировать геометрически.
Известно, что Ψ`(х)=tgα, где α-угол наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х0. Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J, то tgα=0 для любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С.
Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом промежутке.
Действительно, для произвольного х1 и х2 из промежутка J по теореме о среднем значении функции можно записать: f(х2)- f(х1)=f`(с) (х2- х1), т.к. f`(с)=0, то f(х2)= f(х1)
Теорема: (Основное свойство первообразной функции)
Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.
Доказательство: Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J. Допустим существует Φ(х)- другая первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х), тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0, для х Є J. Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на промежутке J. Следовательно, Φ(х)- F(х) = С. Откуда Φ(х)= F(х)+С. Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число. Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.
Теорема. У всякой непрерывной на промежутке [a, b] функции имеется первообразная.
Доказательство этой теоремы будет дано далее.
Нетрудно видеть, что, если функция F(x) есть первообразная для f(x), то функция F(x) + C при любом постоянном C также является первообразной для f(x). В то же время никаких других первообразных, кроме функций вида F(x) + C, у f(x) уже быть не может. Действительно, если F1(x) есть какая-то первообразная для f(x), то производная разности F1(x) - F(x) будет всюду на [a, b] равняться нулю, а тогда сама разность есть величина постоянная, т. е.
F1(x) - F(x) = C и F1(x) = F(x) + C.
Если F(x) есть первообразная функция для f(x), то функция двух аргументов x и C, равная F(x) + C, называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается символом
Таким образом, неопределенный интеграл какой-нибудь функции представляет собой общий вид первообразных функций для этой функции. Величина C, входящая в определение неопределенного интеграла, называется "произвольной постоянной". Придавая ей то или иное закрепленное значение, можем получить из неопределенного интеграла любую первообразную.
Теорема. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции, т. е.
-
Основные свойства определенного интеграла.
1. ;
2. если , то
3. ;
4. ;
5. ;
6. если, то .
Задание №1. Найти неопределенные интегралы. В случаях а), б), в) результат проверить дифференцированием.
Решение:
Задание №2. Вычислить определенные интегралы.
Задание №3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.
Решение:
Найдём точки пересечения линий:
Задание №4. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления проводить с округлением до третьего десятичного знака.
, воспользуемся формулой Симпсона:
где
тогда
тогда
Задание №5. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится.