МатАнализКР-1, 1 вариант
.docx1 вариант
-
Понятие числовой последовательности и ее предела. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью.
В качестве геометрической интерпретации Ч.П. служит набор точек на числовой оси.
Ч.П. называется ограниченной, если М > 0 такое, что для n имеет место неравенство xn < М.
Из этого определения возможен вывод : при своем изменении имеется возможность, что xn приближается к некоторой константе.
Число а называют пределом числовой последовательности {xn}, если для > 0 (cколь угодно малое) , для которого всегда найдется такое N, что как только n>N, то будет выполняться неравенство <.
Такую ситуацию символически принято обозначать (записывать) так=а.
Иногда эту ситуацию записывают так: xnа, при х.
Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.
Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {xn-а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {xn}.
В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.
Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что при n³ N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:
|xn-a|<e .
При этом число а называется пределом последовательности.
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть {xn} - сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:
xn=а+a n,
где a n- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {a n} ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |a n|£ А. Поэтому | xn | £ |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {xn}. Теорема доказана.
Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {xn-a} и {xn+1-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn-a) – (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |xn– xn+1| = 2 для любого номера n.
10.Теорема об отношении бесконечно малой функции к функции, имеющей предел, отличный от нуля.
Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
Примеры.
-
Функция f(x)=(x-1)2 является бесконечно малой при x→1, так как (см. рис.).
-
Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.
-
f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.
-
f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.
Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.
Задание №1. Найдите пределы функций не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение:
Задание №2. Даны комплексные числа. Необходимо: а) выполнить действия в алгебраической форме; б) найти тригонометрическую форму числа z и вычислить z20 ; найти корни уравнения w3 + z = 0 и отметить их на комплексной плоскости.
Решение:
тогда
Воспользуемся формулой:
для к=0,1…(n-1)
W2
Задание №3. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера – Венна.
Решение:
/x/////////
x ///x//x///////////
/////x // x//////////////
///x///x/////x//////////
/x/xx/x///x///
//x//x//x/////xxx
/x/x/x//xx
xxx -
///// -
x//x -
Из диаграмм Эйлера-Венна видно, что получается одно и тоже множество.
Задание №4.
а) в разложении (xk + yP)n найти члены, содержащие х ;
б) в разложении (x + y + z + w)m найти члены, содержащие х .
-
a) k = 2, p = 1, n = 10, = 4; б) m = 7, = 5 .
Решение:
a) (x2+y)10; x4 - ?
Воспользуемся формулой Бинома Ньютона:
(x2)10+C110(x2)1y9+C210(x2)2y8+ C310(x2)3y7+…+y10
C210x4y8=(10!/(2!·8!))y8x4=45y8x4 , т.е. коэффициент 45y8 при x4.
б)(x+y+z+w)7; x5 - ?
(x+y)7+C17(x+y)(z+w)6+ C27(x+y)2(z+w)5+ C37(x+y)3(z+w)4+
+C47(x+y)4(z+w)3+ C57(x+y)5(z+w)2+ C67(x+y)6(z+w)+(x+y)7
Рассмотрим все слагаемые, которые содержат x5:
-
C57(x+y)5(z+w)2=21(z+w)2(x5+C15x4y+…+y5),
сл-но при x5 будет 21(z+w)2;
-
C67(x+y)6(z+w)=7(z+w)( x6+C16x5y+…+y6),
сл-но при x5 будет 7 (z+w)6y=42y(z+w);
-
(x+y)7= x7+ C17x6y+ C27x5y2+…+y7,
сл-но при x5 будет c;
Тогда в сумме слагаемое содержащее x5 выглядит так:
x5(21(z+w)2+42y(z+w)+ 21y2)
Задание №5. Задана функция y=f(x). Установить, является ли данная функция непрерывной. В случае разрыва функции в некоторой точке найти ее пределы слева и справа, классифицировать характер разрыва. Построить схематично график функции.
Решение:
Точки x1=-1, x2=1- подозрительные на разрыв, т.к. меняется аналитическое значение функции.
Для x1=-1
Значит, функция в т. x1=-1 – непрерывна.
Для x2=1
Значит, функция в т. x2=1 имеет разрыв 1-го рода (функция терпит скачок).
Рисунок: