II исследование линейных импульсных сау

Исходные данные:

Таблица 2

Номер варианта	γ	Т	T1	τ1
26	1	0,5	0,5	0,1

Анализируется одноконтурная замкнутая импульсная САУ, составляющая из непрерывной части (НЧ) и импульсного элемента (ИЭ), формирующего прямоугольные импульсы длительностью τ=γТ, где Т -период дискретизации, 0≤γ≤1. Исходные данные для расчетов приведены в табл. 2. Для всех вариантов заданий передаточная функция непрерывной части имеет вид

. (1.1)

Импульсный элемент представляется в виде идеального ключа и формирующего устройства с передаточной функцией

(1.2)

Структурная схема системы представлена на рис. 2.1. В табл. 2 Т, Т₁, τ₁ -постоянные времени имеют размерность секунды, К₀ - коэффициент передачи

НЧ имеет размерность сек^-1 и выбирается далее.

Рис 2.1 Структурная схема линейной импульсной системы

1. Для нахождения передаточной функции разомкнутой импульсной САУ W(z), представим в виде суммы двух слагаемых:

(1.3)

где ,.

Таблица 2.1

Воспользуемся табл. 2.1, тогда:

,. (1.4)

Таким образом:

. (1.5)

Теперь воспользуемся формулой:

. (1.6)

Найдем:

. (1.7)

По таблицам Z–преобразования [6] находим:

, (1.8)

. (1.9)

Таким образом, имеем

, (1.10)

откуда находим прииприи подставляем их в [5, (1.18)]. После преобразований приходим к выражению [5, (1.19)]. Как и следовало ожидать, оба способа дали одинаковую передаточную функцию, которую можно записать и так

, (1.11)

где ,,K = K₀(τ₁s + 1), α= 1/T₁.,,,,а коэффициентыиопределены выше.

Передаточные функции замкнутой системы легко находятся по выражениям

(1.12-1.13)

(1.14)

где (1.15)

(1.16)

2. Устойчивость системы определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы , которое для нашего случая будет иметь вид:

a₀z² +(a₁+ c₀)z +a₂ +c₁= z²+b₁z + b₂ =0.

В соответствии c алгебраическим критерием [6, с. 432] замкнутая система будет устойчива при выполнении неравенств:

В неравенстве при известных значениях γ, Т, τ₁, Т₁ входит величина К₀. Таким образом, можно выделить отрезок значений К₀^’’<К₀ <К₀^’ при которых система будет устойчива и далее принять К₀ = 0,5К'₀. Условия устойчивости будут:

(1.17)

(1.18)

(1.19)

После преобразований и возврата к старым переменным получим:

Вычислим эти значения. Получим 0<К₀<1.14. Таким образом, принимаем К₀=0.5K’₀ =0.57.

3. Для построения частотных и логарифмических частотных характеристик в выражении W* (z) делаем замену переменной

В результате этого получим частотную характеристику W_w^*(jω^*) и далее логарифмическую амплитудно-частотную характеристику

L^*( ω^*) = 20lg |W^*(jω^*)| и фазочастотную характеристику φ^*(ω^*)=argW_w^*(jω^*), графики, которых строятся в логарифмическом масштабе.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

(1.21)

тогда можно воспользоваться следующей последовательностью команд Matlab:

T_s=T*γ

>> sys=tf([c0 c1],[a0 a1 a2],Ts)

0.1 z + 0.075

---------------------

z^2 - 1.368 z + 0.368

Sampling time: 0.5

>> sys_tr=d2c(sys,'tustin') (опция 'tustinпредназначена для преобразования (1.20))

-0.009137 s^2 - 0.2193s+ 1.023

--------------------------------

s^2 + 1.848s- 8.207e-016

Получаем выражение:

(1.22)

где параметры g и f видны из вышеприведенного выражения.

Рис.2.2

4. Рассматриваемая система для всех вариантов является астатической с астатизмом первого порядка и имеет следующую передаточную функцию

(1.23)

где = (c₀z + c₁)/(z-d).

В силу астатизма первого порядка в такой системе статическая ошибка всегда равна нулю, а скоростная е_ск вычисляется по формуле e_CK=1/.

Тогда:

(1.24)

и следовательно, е_ск= 3.612.

Вычислим коэффициенты ошибок. Величина С₀ =0, а коэффиц3иент ошибки С₁, находится по следующей формуле

(1.25)

где(z) - передаточная функция системы по ошибке. Она ровна:

>> sys_e=1/(1+sys_tr)

Transfer function:

s^2 + 1.848 s - 8.207e-016

----------------------------

0.9909 s^2 + 1.629 s + 1.023

Посчитали производную в MathCad и подставив s=1, получили С₁ = 10.705.

Рис. 2.3

5. При входном воздействии вида v(k) = l[k] переходный процесс в замкнутой системе можно вычислить с помощью моделирования импульсной системы в Matlab. Для этого необходимо задать передаточную функцию непрерывной части системы в tf- или zpk -форме, преобразовать ее в дискретную с помощью оператора c2d при заданном времени дискретизации Г, а затем построить переходной процесс системы оператором step. Так же можно построить и логарифмические частотные характеристики импульсной системы – bode. Если задана передаточная функция замкнутой системы в виде

и период дискретизации γT, то получим рис.2.4.

w0=tf([t1 1 0],[t1 1 K0*(tay+1)])

w1=c2d(w0,Ts)

Transfer function:

0.5 s^2 + s

-------------------

0.5 s^2 + s + 0.627

Transfer function:

z^2 - 1.287 z + 0.2873

----------------------

z^2 - 1.175 z + 0.3679

Samplingtime: 0.5