2.2 Построение и решение задачи, двойственной к исходной. Сравнение решения прямой и двойственной задач

Рассмотрим соотношение прямой и двойственной задач:

(2.2)

Число переменных двойственной задачи совпадает с числом ограничений прямой задачи.

Исходная задача:

F(x)=-1x₁-5x₂-3x₃ (max)при следующих ограничениях:

Так как требуется найти максимум целевой функции, то неравенства в системе ограничений должны быть вида <. Второе неравенство ограничений прямой задачи умножим на (-1):

тогда

, ,

Двойственная задача будет иметь 4 переменные, так как прямая содержит 4 ограничения. В соответствии с (2.2) запишем двойственную задачу в виде:

,

Тогда условие пример следующий вид:

,

следовательно:

.

Так как в прямой задаче есть ограничение равенство, то на у₁, соответствующая переменная двойственной задачи, не накладывается условие неотрицательности.

Введем дополнительные переменные:

Составим симплекс-таблицу:

Таблица 2.5

БП	Своб. члены	НП
		y1	y2	y3	y4
y5	1	5	-5	0	4
y6	5	-4	0	5	-5
y7	3	1	5	4	-2
F	0	-3	9	-42	9

Таблица 2.6

БП	Своб. члены	НП
		Y1	Y2	Y3	Y7
Y5	-5	7	5	8	2
Y6	25/2	-13/2	-25/2	-5	-5/2
Y4	3/2	-1/2	-5/2	-2	-½
F	-27/2	3/2	63/2	-24	9/2

Для нахождения ведущей строки найдем максимальный по модулю отрицательный свободный член (-5). Ведущая строка - X₅. В строке X₅так же найдем максимальный по модулю отрицательный свободный член (2). Столбец X₇ - ведущий.Так как в строке с отрицательным свободным членом нет отрицательных элементов, то система ограничений не совместна и задача не имеет решения Запишем соответствие между переменными прямой и двойственной задач:

Исходные переменные Дополнительные переменные

прямой задачи прямой задачи

x₁ x₂ x₃ R x₄ x₅ x₆

(2.3)

y₅ y₆ y₇ y₁ y₂ y₃ y₄

Дополнительные переменные Исходные переменные

двойственной задачи двойственной задачи

Соответствие не означает равенство. Оптимальное решение прямой задачи определяется коэффициентами F-строки. Переменные прямой задачи приравниваются к коэффициентамприсоответствующим им небазисных переменных в F-строке оптимальной симплекс-таблицы двойственной задачи.

2.3 Получение целочисленного решения путем введения дополнительных ограничений по методу Гомори

При решении задачи не было получено решения, т.к. система ограничений не совместна.

3 Нелинейное программирование

3.1 Построение ОДЗП, выбор начальной точки поиска

Целевая функция имеет вид:

Построим ОДЗП:

1. 

Пусть x₁=3, тогдаx₂=5

Пусть x₁=0, тогдаx₂=-4

2. 

Пусть x₁=3, тогдаx₂=5

Пусть x₁=0, тогдаx₂=6

Рисунок 3.1 - ОДЗП

Внутри области допустимых значений выбираем точку x⁰, которая в дальнейшем будет являться начальной в процессе поиска экстремума:

x⁰=(1;3).

3.2 Нахождение экстремального значения функцииF(x) без учета ограничений на переменные

3.2.1 Метод наискорейшего спуска

В методе наискорейшего спуска (подъема) очередная точка при поиске максимума функции вычисляется по формуле:

где направление движения задается вектором антиградиента функцииF(x), вычисленном в точке, а величина шага перемещения определяется числовым параметром.

Найдем градиент :

.

На первом шаге движение осуществляется из точки вдоль вектора

-в новую точку:

Величина шагана любом шаге выбирается из условия обеспечения экстремума функции в рассматриваемом направлении. Подставляя координаты точкив функцию, получим:

Из условия:

;

найдем :

;

В результате после первого шага координаты очередной точки получаются равными:

Вычисляем

.

На втором шаге движение осуществляется в направлении вектора

-:

Подставив полученные выражения для x12 и x22 в функцию цели и преобразовав получаем

;

Из условия:

;

найдем :

;

Тогда:

В результате после второго шага координаты очередной точки получаются равными:

Вычисляем :

На третьем шаге движение осуществляется в направлении вектора

-:

;

Из условия:

;

найдем :

;

В результате после третьего шага координаты очередной точки получаются равными:

После проведения четвертой итерации получаем точку

_На четвертой итерации закончим вычисления, значение функции цели:

Рисунок 3.2 – Графическая интерпретация метода наискорейшего спуска

Как видим из графической интерпретации, происходит приближение к экстремальному значению функции без учета ограничений.