4.2.2.4 Реализация булевых функций формулами.

Булевы функции могут быть заданы аналитически, т.е. формулами (аналитическими выражениями).

Определение.

Формула – это выражение, содержащее булевы функции и их суперпозиции.

Пример.

Формулы булевой алгебры можно представить следующим образом:

; [ ], .

Определение.

Суперпозицией называется прием получения новых функций путем подстановки значений одних функций вместо значений аргументов других функций.

Пример.

Рассмотрим формулу, задающую функцию следующим образом . Эта формула содержит функции:  отрицание,  конъюнкцию,  дизъюнкцию. Данную формулу можно представить в виде суперпозиции указанных функций следующим образом:

Как и в элементарной алгебре, в алгебре логики можно строить формулы, исходя из элементарных функций.

При образовании (построении) формул используются знаки (символы) трех категорий:

1. символы первой категории обозначают переменные: ;

2. символы логических операций и т.д.;

3. пары символов (), [], {}.

Если в формуле отсутствуют скобки, то операции выполняются в следующей последовательности: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, и эквивалентность: .

Определение.

Запись формул, при которой знаки функций стоят между аргументами, называют инфиксной (в дальнейшем будем пользоваться такой формой записи).

Формула каждому набору значений аргумента ставит в соответствие значение функции и, следовательно, может служить, наряду с таблицей, способом задания и вычисления функций. По формуле можно восстановить таблицу функций.

Определение.

О формуле, задающей функцию, говорят также, что она реализует или представляет эту функцию.

В отличие от табличного задания представление булевой функции формулой не единственно.

Определение.

Формулы, представляющие одну и ту же функцию, называются эквивалентными или равносильными.

Две функции (как и определяющие их формулы) считаются равносильными, если при любых значениях аргументов эти функции (формулы) принимают одинаковые значения. Равносильные функции соединяются знаком равенства.

Пример. Равносильные функции или .

Пример.

Важнейшие примеры равносильных функций: равносильно ; равносильно ; равносильно ; равносильно ; равносильно ; равносильно ; равносильно ; равносильно .

Чтобы выяснить, являются ли данные формулы эквивалентными (равносильными), существует, по крайней мере, два метода:

• стандартный метод (построение таблицы функции);

• метод эквивалентных преобразований формул.

4.2.2.5 Принцип двойственности.

Одним из способов получения тождеств в булевой алгебре является способ, основанный на принципе двойственности.

Определение.

Функция называется двойственной к функции , если .

Для любой функции двойственная ей функция определяется однозначно.

Отношение двойственности симметрично.

Определение.

Функция, двойственная сама себе, т.е. , называется самодвойственной.

Самодвойственные функции принимают противоположные значения на любых двух противоположных наборах. Если в таблице истинности функции наборы, как обычно, следуют в порядке их номеров, то противоположные друг другу наборы располагаются симметрично относительно середины их расположение. Это значит, что строка значений самодвойственной функции должна быть антисимметричной относительно своей середины.

Пример.

а) двойственна .

б) двойственна .

Таблица двойственности функции получается из таблицы для функции инвертированием (т.е. заменой 0 на 1 и 1 на 0) значений функции и заменой порядка следования инвертированных значений функции на противоположный (переворачиванием столбца инвертированных значений функции).

Пример.

Найдем функцию , двойственную заданной , при помощи таблицы истинности. Результат представим в таблице 4.5.

Таблица 4.5  Таблица истинности и двойственной функции

0	0
0	1
1	0
1	1

Рассмотрим таблицу истинности самодвойственной функции (таблица 4.6).

Таблица 4.6  Самодвойственная функция, представленная таблицей истинности

0	0
0	1
1	0
1	1

Определение.

Принцип двойственности указывает правило получения двойственных формул в булевой алгебре: «Для того чтобы получить двойственную формулу булевой алгебры, необходимо заменить в ней все конъюнкции на дизъюнкции, дизъюнкции на конъюнкции, 0 на 1, 1 на 0 и использовать скобки, где необходимо, чтобы порядок выполнения операций остался прежним».

Пример.

Найти функцию, двойственную функции .

Используя правило получения двойственных функций, получим двойственную функцию .

Определение.

Если функции равны, то и двойственные им функции также равны, т.е., если , то .

Принцип двойственности позволяет почти в два раза сократить усилия на вывод тождеств при рассмотрении свойств элементарных функций.