Пример выполнения контрольной работы

Задача 1. Дана система линейных алгебраических уравнений: Требуется:

1. решить СЛАУ по формулам Крамера;

2. записать СЛАУ в матричной форме и решить ее матричным способом, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя определение ее.

Решение. 1) По формулам Крамера где

Находим решение системы

2) Для нахождения решения СЛАУ с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме AX=B, где

, , .

Решение СЛАУ в матричной форме имеет вид , где - матрица, обратная матрице . Найдем матрицу по формуле

, где , - алгебраическое дополнение к элементу .

Обратная матрица имеет вид: .

Проверим правильность нахождения обратной матрицы:

Находим решение системы.

Итак, решение системы: .

Задача 2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

Решение. Запишем СЛАУ в матричной форме AX=B, где

, , .

При помощи элементарных преобразований приведем расширенную матрицу СЛАУ к трапециевидной форме.

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы

.

Умножим первую строку на -3 и прибавим ко второй строке. Умножим первую строку на -4 и прибавим к третьей строке

.

Сложим вторую и третью строки

.

Полученная матрица является трапециевидной, содержит две ненулевые строки, поэтому .

Так как ранг матриц меньше числа неизвестных, то СЛАУ имеет бесконечное множество решений.

,то этот минор является базисным.

Переменные и возьмем в качестве базисных, а переменная будет свободной. Выразим переменные и через .

По последней матрице запишем систему уравнений, эквивалентную данной

Следовательно, ,

.

Итак, решения СЛАУ: ; она совместная и неопределенная.

Задача 3. Даны векторы . Доказать, что векторы и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Если два вектора не коллинеарны ( ), то они образуют базис на плоскости.

Так как , то векторы и не коллинеарны и, значит, образуют базис. Пусть в этом базисе вектор имеет координаты , тогда разложение вектора по векторам и имеет вид: или в координатной форме:

Решим полученную систему уравнений по формулам Крамера.

Значит

Итак, в базисе , вектор имеет координаты

Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды Найти:

1. длину ребра ;

2. угол между ребрами и ;

3. уравнение плоскости ;

4. угол между ребром и гранью ;

5. площадь грани ;

6. объем пирамиды;

7. уравнение прямой ;

8. уравнение высоты , опущенной из вершины на плоскость ;

9. длину высоты, опущенной на грань .

Решение.

1. Расстояние между двумя точками и вычисляют по формуле:

2) Угол φ между векторами и находят по формуле:

Найдем координаты векторов и :

Тогда

3) Составим уравнение плоскости по формуле:

, где

- точки данной плоскости.

В нашем случае для плоскости имеем:

- уравнение плоскости .

4) Угол α между прямой и плоскостью находят по формуле:

, где - нормальный вектор плоскости.

Из уравнения плоскости .

5)

6) , где - смешанное произведение векторов .

7) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеют вид:

В нашем случае . Тогда - канонические уравнения прямой .

8) Направляющим вектором прямой является нормальный вектор плоскости . Тогда - уравнения прямой .

9) Длину высоты, опущенной на грань , можно вычислить как расстояние от точки до плоскости . Для этого воспользуемся формулой

, где - уравнение данной плоскости, - координаты данной точки.

В нашем случае - уравнение плоскости (см. пункт 3) и

Итак,

Задача 5. Упростить уравнение линии второго порядка , определить вид линии, построить ее.

Решение. Выделим полные квадраты по х и по у, получим: ,

,

, (см. ),

т.е. имеем эллипс, центр которого лежит в точке С(5;-1), большая полуось а=4, малая полуось b=3.

Строим линию

Задача 6. Найти пределы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Решение. а)

б)

в)

г)

д)

Задача 7. Исследовать на непрерывность функцию и построить ее график:

Решение. Область определения функции – вся числовая прямая. На интервалах (-, 0),

(0, 2), (2, +) функция непрерывна, так как задана на них элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках и , переходя через них изменяется аналитическое задание функции.

Рассмотрим точку , Найдем односторонние пределы в точке .

точка разрыва первого рода ( конечные).

Рассмотрим точку , .

в точке функция непрерывна.(см. определение непрерывности функции в точке )

Строим график данной функции:

Задача 8. Дано комплексное число . Требуется:

1. записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

2. найти корни уравнения ³-z=0.

.

Решение. 1) .

Итак, - алгебраическая форма комплексного числа ( ).

Тригонометрическая форма имеет вид:

, где , угол φ определяют из системы

Находим

Значит .

Итак, - тригонометрическая форма комплексного числа.

Показательная форма имеет вид: .

Тогда - показательная форма комплексного числа.

2) Надо решить уравнение ³-z=0, откуда .

.

Воспользуемся формулой , где .

, k=0, 1, 2.

k=0: ;

k=1: ;

k=2: