Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусско-Российский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высш.мат.ДУ.Метод.указ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

408.42 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Высшая математика»

В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А

Методические указания к практическим занятиям по теме «Дифференциальные уравнения»

для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения

Могилев 2010

УДК 517

ББК 22.1я73 В 93

Рекомендовано к опубликованию учебно-методическим управлением

ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет»

Одобрено кафедрой «Высшая математика» «25» февраля 2010 г., протокол№5

Составители: Е. Г. Галуза; М. Н. Зубова; Н. М. Карпович; В. В. Пугин

Рецензент канд. техн. наук, доц. Д. М. Макаревич

В методических указаниях изложен материал по теме «Дифференциальные уравнения», который могут использовать студенты всех специальностей как дневной, так и заочной форм обучения при самостоятельной работе, а также преподаватели для проведения практических занятий.

Учебное издание

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Ответственный за выпуск		Л. В. Плетнёв
Технический редактор		А. Т. Червинская
Компьютерная верстка		Н. П. Полевничая
Подписано в печать	. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.
Печать трафаретная. Усл.-печ. л.	. Уч.-изд. л.	. Тираж 165 экз. Заказ №

Издатель и полиграфическое исполнение Государственное учреждение высшего профессионального образования

«Белорусско-Российский университет» ЛИ № 02330/375 от 29.06.2004 г. 212000, г. Могилев, пр. Мира, 43

1 Дифференциальные уравнения первого порядка

1.1 Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется соотношение, свя-

зывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы.

ДУ называется обыкновенным (ОДУ), если неизвестная функция, входящая в уравнение, зависит только от одной независимой переменной.

Порядком ДУ называется порядок входящей в уравнение старшей производной (или дифференциала) неизвестной функции.

ОДУ первого порядка в общем виде записывают равенством
F (x; y; y′)= 0.	(1.1)
Уравнение (1.1), разрешенное относительно производной, называют
ДУ в нормальной форме. Его записывают в виде
y′= f (x, y),	(1.2)
где функция f (x, y) задана в некоторой области D плоскости xOy .
Уравнение
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0	(1.3)

называется дифференциальным уравнением первого порядка в дифференциальной форме.

Решением уравнения (частным решением) (1.1) ((1.2)) или (1.3) назы-

вается функция
y =ϕ(x),	(1.4)

определенная на некотором промежутке σ действительной оси и дифференцируемая на этом промежутке, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество.

Решение ДУ, заданное неявно соотношением

Φ(x, y)= 0 ,

(1.5)

называется интегралом этого уравнения.

График решения ДУ называется интегральной кривой ДУ. Решение (1.4) ((1.5)) дифференциального уравнения (1.1) ((1.2)) или

(1.3), удовлетворяющее условию y (x0 )= y0 , называется частным реше-

нием (или частным интегралом) ДУ, удовлетворяющим начальному условию.

Численный параметр, принимающий произвольные значения из множества R, обозначим C . Функция y =ϕ(x,C ), зависящая от x и постоян-

ной C , называется общим решением уравнения (1.1) ((1.2)) или (1.3) в некоторой области σ , если оно является решением этого уравнения (при любом значении постоянной C из некоторого множества) и если любое решение уравнения в области σ при наличии начальных данных x = x0 ,

y = y0 (начального условия y (x0 )= y0 , или точки (x0 , y0 )) может быть за-

писано в виде y =ϕ(x,C0 ), где C0 = C (x0 , y0 ).

Равенство Φ(x, y,C )= 0 , неявно задающее общее решение ДУ, назы-

вается общим интегралом ДУ в области σ .

Решение ДУ, которое не может быть получено из общего решения ни при каком значении C R, называют его особым решением.

Процесс нахождения решения ДУ называется интегрированием уравнения.

Основная задача интегрирования ДУ состоит в нахождении всех решений ДУ и изучении их свойств.

Другой очень важной задачей теории ДУ и её приложений является задача нахождения решений ДУ, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям. Дополнительные условия называются начальными, если они относятся к одному значению аргумента, и граничными – в противном случае. Задача отыскания решения y =ϕ(x) ДУ y′= f (x, y), удовле-

творяющего начальному условию y (x0 )= y0 , называется задачей Коши. Известно из теоремы Коши, что если f (x, y) непрерывна в окрестно-

сти точки (x0 , y0 ) D , то решение задачи Коши существует, а если и fy′(x, y) непрерывна в окрестности точки (x0 , y0 ) D , то такое решение

задачи Коши будет единственным.

С точки зрения геометрии задать уравнение y′= f (x, y) – значит за-

дать поле направлений в области D (в каждой точке области D направление касательной к интегральной кривой ДУ). Найти решение этого уравнения ― значит найти кривую, касательная к которой в каждой её точке совпала бы с направлением поля в этой точке.

Пример 1. Проверить подстановкой, что функция
y =Cex	(1.6)
является решением ДУ
y′− y = 0	(1.7)

при любом значении C . Найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию y (1)= −1.

Решение

Подставляя функцию (1.6) в уравнение (1.7), получаем при любом C y′− y =Cex −Cex = 0, т. е. функция (1.6) является решением ДУ (1.7). Под-

ставив y = −1, x =1 в					решение		y =Cex , находим			C = C (1;−1):
										0
−1 = C e, C = −		1	e	.
0	0		e
0	0
Следовательно,				y = −ex	e	, или y = −ex−1		― частное решение ДУ (1.6),
					e
удовлетворяющее заданному начальному условию.
Пример 2. Показать, что соотношение								x2 − xy + y2 = C		является об-
щим интегралом ДУ				(x −2 y)y′= 2x − y .
Решение
Продифференцируем данное соотношение по x :
				2x − y − xy′+2 yy′= 0				C .
Откуда	2x − y = (x −2 y)y′. Получили							данное	дифференциальное
уравнение.	Следовательно,				x2 − xy + y2		= C	является	общим интегралом
ДУ (x −2 y)y′= 2x − y .

1.2 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

ДУ 1-го порядка с разделенными переменными – это ДУ в диффе-

ренциальной форме
f (x)dx +ϕ(y)dy = 0 ,	(1.8)

где при dx стоит функция, зависящая только от x , а при dy — функция, зависящая только от y = y (x).

Общий интеграл ДУ (1.8) записывается в виде

∫ f (x)dx + ∫ϕ(y)dy = C ,

где C – произвольная постоянная.

ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными – уравнение вида

							f1 (x)ϕ1 (y)dx + f2 (x)ϕ2 (y)dy = 0 .			(1.9)
			Если		ϕ1 (y) f2 (x)≠ 0 ,			то, разделив	обе части уравнения (1.9) на
ϕ1 (y) f2 (x),						получим		уравнение с	разделенными	переменными
	f	1	(x)		ϕ	(y)
		1		dx +	2		dy = 0 .
	f	2	(x)	dx +	ϕ	(y)	dy = 0 .
		2			1

Следовательно, общий интеграл последнего уравнения, а значит и уравнения (1.9), записывается в виде

∫	f1	(x)	dx + ∫	ϕ2	(y)	dy =C .	(1.10)
	f	(x)		ϕ	(y)
2		1

Если же f2 (x)= 0 при некотором x =α или ϕ1 (y)= 0 при некотором y = β , то уравнение (1.9), наряду с общим интегралом (1.10), имеет также решения x =α или y = β . Если эти решения не могут быть получены из

(1.10) при каком-то значении C , то они будут называться особыми решениями; в противном случае они представляют собой частные решения при некоторых значениях C .

К уравнению с разделенными переменными сводится уравнение вида

y′= f (x)ϕ(y).

(1.11)

Действительно, разделив (1.11) на ϕ(y) (предполагая ϕ(y)≠ 0 ) и умножив на dx , получим уравнение с разделёнными переменными

dy = f (x)dx .

ϕ(y)

Интегрируя

последнее

уравнение,

получим

общий

интеграл

∫

= ∫ f (x)dx +C

уравнения (1.11).

ϕ(y)

Пример 3. Найти общий интеграл и частное решение ДУ, удовлетво-

(

)

′

y (0)=1.

ряющее начальному условию, если 1+e

= e

Решение

Разделяя переменные в ДУ, получим

ydy =

dx .

1+ex

Проинтегрировав, найдем общий интеграл y2

2 = ln (1 +ex )+C данно-

го уравнения на всей плоскости xOy .

Так как 1+ex

≠ 0 x , то особых

решений уравнение не имеет. Полагая в общем интеграле x = 0,

y =1, на-

ходим C =

−ln 2 = ln

. Подставляя найденное значение C в общий ин-

теграл, получим для ДУ частный интеграл

= ln (1+ex )+ln

или ча-

стное решение y =

2ln

e +ex

ДУ,

удовлетворяющее начальному ус-

ловию y (0)=1.

Пример 4. Найти общий интеграл уравнения

(xy2 + y2 )dx +(x2 − x2 y)dy = 0 .

Решение


Преобразуем левую часть уравнения:					y2 (x +1)dx + x2 (1− y)dy = 0 .
Разделив уравнение на x2 y2	≠ 0 , имеем					x +1		dx +		1− y	dy = 0.

						x2				y2
Проинтегрировав, получим:	∫	x +	1	dx + ∫			1− y		dy =C ,
		x2					y2

ln x − 1x − 1y −ln y =C – общий интеграл данного ДУ.

Разделяя переменные, мы делим на x2 y2	≠ 0 . Если же x2 y2 = 0 , то
имеем x = 0, y = 0 .
Непосредственной проверкой убеждаемся,	что x = 0 и y = 0 являются

решениями данного ДУ. Но они не получаются из общего интеграла ни

при каком значении C . Значит,

x = 0 и

y =0―особые решения данного

уравнения.

Пример 5. Найти общий интеграл ДУ и частное решение, удовлетво-

ряющее начальному условию, если

xydx +(1+ y2 )

1+ x2 dy = 0, y (

8 )=1.

Решение

Делим обе части уравнения на y 1 + x2 . Получим

1+ y2

dx +

dy = 0 .

1+ x2

Интегрируя, имеем

∫

dx +

∫

1+ y2

dy =C , 1+ x2

+ln

=C – общий интеграл ДУ.

+ x

Решим

вопрос

об особых

решениях.

Для этого рассмотрим

y 1 + x2 = 0 . Откуда y = 0, 1+ x2 = 0 . Проверкой убеждаемся, что y = 0 –

решение данного уравнения, которое не получается из общего интеграла ни при каком значении C . Следовательно, y = 0 ― особое решение данно-

го уравнения. Уравнение 1+ x2 = 0 действительных корней не имеет.

1− y2

1+ x2

1+ y2

		8
Полагая в общем интеграле x = 8,			y =1, находим C :
9 +	1	+ln1 =C,	C = 3,5.
9 +	2	+ln1 =C,	C = 3,5.
	2

Подставляя значение C = 3,5 в общий интеграл, получаем частный

интеграл ДУ:	1+ x	2	+	y2	+ln	y	= 3,5.

				2

1.3 Упражнения

Проинтегрировать уравнения

	x 1+ y2 dx + y 1+ x2 dy = 0,					′		3
1	y ( 3)=0.			9	xy	′	− y = y .
1	y ( 3)=0.			9	xy		− y = y .
	ydx +ctgxdy = 0,	π
2		y	= −1.	10	y′+				= 0.
2		y	= −1.	10	y′+				= 0.
		3

y′sin x − y cos x = 0,	π		=1.
	y	2

y2 + y′ x2 = 0, y (−1)=1.

(1 + y2 )(e2 x dx −ey dy )−(1 + y)dy = 0 . sin x sin ydx +cos x cos ydy = 0 .

(y2 + xy2 )y′+ x2 − yx2 = 0 .

(1− x2 )y′+ xy = 2x .

11	y′=					.
11	y′=	(		2	)	.
		xy 1+ x
12	y y′+ x =1.
13	(1+ x2 )dy −2x (y +3)dx = 0.
14	(1+2 y)xdx −(1+ x2 )dy = 0 .
15	3extgydx +		1−ex				dy = 0 .
15	3extgydx +		cos2 y				dy = 0 .
			cos2 y
16	(1+ex )yy′= ey , y (0)=0.

1.4 Однородные уравнения

Функция f (x, y) называется однородной n-го измерения (n R) от-

носительно аргументов x и y , если для любого значения t , кроме, может

быть, t = 0, имеет место тождество	f (tx,ty)= tn f (x, y).
Например, f (x, y)= x3 +3x2 y	– однородная функция 3-го измерения

относительно аргументов, т. к. f (tx,ty)= (tx)3 +3(tx)2 ty = t3 (x3 +3x2 y)= = t3 f (x, y).

ДУ P (x, y)dx +Q (x, y)dy = 0 называется однородным относительно

переменных x и y , если функции P (x, y) и Q (x, y) являются однород-

ными функциями одного и того же измерения.

Из этого определения непосредственно следует, что ДУ y′= f (x, y)

является однородным относительно x и y , если функция

f (x, y) является

однородной функцией нулевого измерения относительно x и y .

Интегрирование однородного уравнения сводится к интегрированию

ДУ с разделяющимися переменными.

Однородное ДУ y′= f (x, y)

преобразуется к виду y′ =ϕ(y x ). С по-

мощью подстановки

= u (откуда y = ux,

′

получим уравне-

= u x +u )

ние

′

с разделяющимися переменными.

u x +u =ϕ(u)

Пример 6.

Найти общее решение ДУ

(x − y)ydx + x2dy = 0 .

Решение

Дано однородное уравнение, т. к. P (x, y)= (x − y)y

и Q (x, y)= x2 –

однородные функции 2-го измерения. Приводим уравнение к виду

(x − y)y

y 2

или

−

Полагаем

x = u ,

тогда

y = ux ,

′

+u .

Следовательно,

= u x

′

u x +u = u −u

Тогда

u x = −u

x dx = −u

−

−∫

= ∫

или xy = ln x +C ― общий интеграл исходного ДУ.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что x = 0, y = 0 также ре-

шения данного уравнения. Но они не могут быть получены ни при каком значении C из общего интеграла. Поэтому x = 0 и y = 0 являются особы-

ми решениями данного уравнения.

Пример 7. Найти общее решение ДУ, а также частное решение, удов-

летворяющее начальному условию, если

(x2 −3y2 )dx +2xydy = 0 , y (2)=1.

Решение

Это уравнение однородное. Приводим его к виду y′ =ϕ(y x ):

3y2 − x2

y 1

или

y′=

−

2xy

Применяем подстановку

= u , тогда

y = ux , y

′

= u x +u .

′

u2 −1

u x +u =

u −

откуда

Разделяя переменные, имеем

2udu

. Интегрируем это равенство:

u2 −1

2udu

∫

= ∫

+ln

, C ≠ 0,

−1

= ln

+ln

или

−1

=Cx , или

u2 −1

=Cx +1,

или y2 = x2

(Cx +1) – общий интеграл ДУ.

При делении на 2xy когда приводили к виду y′ =

могли по-

терять решение x = 0,

y = 0 . Проверкой убеждаемся,

что

x = 0, y = 0 –

решения данного уравнения. Из общего интеграла они не получаются ни при каком значении C . Следовательно, x = 0 , y = 0 – особые решения дан-

ного уравнения.

Находим частное решение, удовлетворяющее начальному условию
y (2)=1. Подставив			x = 2,	y =1			в	общий интеграл, находим C :
1 = 4 (2C +1), C = −	3					2		3
1 = 4 (2C +1), C = −	8	.	Тогда	y =	x		1 −	8	x – частное решение ДУ, удов-
	8		y (2)=1.					8
летворяющее условию			y (2)=1.

1.5 Упражнения

Найти общие и частные (где это требуется) решения уравнений

(x2 + y2 )dx = 2xydy .

(y2 −2xy)dx + x2dy = 0 .

xy′= y + y2 − x2 .

yy′= 2 y − x .

y′=

x + y

y′= e

x − y

′

= y ln y .

xy′cos x = y cos x − x .

(4x −3y)dx +(2 y −3x)dy = 0 .

4x2 − xy + y2 + y′(x2 − xy +4 y2 )= 0 .

′

−

(

−1 =1.

= + , y (1)=1.

)

xdy

+ x

−1

− y

dx = 0 ,

y (1)=1.

(

′−

)

arctg

x ,

( )

0 .

y 1

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.08.20191.23 Mб5Все лекции САПР по порядку.doc
#
14.11.20191.02 Mб20Все ответы по акустике.docx
#
19.09.2019161.28 Кб2Вся шпора по бух учету.doc
#
05.05.2019950.27 Кб4ВФП 31-49.doc
#
03.05.2019331.78 Кб19Выплавка стали в электропечах.doc
#
29.02.2016408.42 Кб3Высш.мат.ДУ.Метод.указ.pdf
#
29.02.20161.02 Mб27Высшая математика(1курс).doc
#
29.02.20161.31 Mб9Высшая математика.pdf
#
11.07.2019690.18 Кб5Вышка заочникам.doc
#
25.09.20191.06 Mб18вышка шпоры норм.docx
#
14.04.20192.12 Mб4гидравлика_40-43, 51-68.docx