1. Ранг произведения двух матриц не выше ранга каждого из сомножителей.

Пусть имеются две матрицы А и В, которые можно перемножать и пусть АВ = С. В i-й строке, и j-м столбце матрицы-произведения С стоит элемент , определяемый формулами:

при i = 1

при i = 2

при произвольном i

(9)

Здесь видно, что j-й столбец матрицы С представляет собой линейную комбинацию столбцов матрицы А, взятых с коэффициентами . Отсюда следует, что система столбцов матрицы С линейно выражается через систему столбцов матрицы А, и ранг системы столбцов С не превышает ранга системы столбцов А.

Если теперь использовать формулу (9) для элементов произвольной строки матрицы С, то получится:

при j = 1

при j = 2

и так далее.

Отсюда видно, что система строк матрицы С является линейной комбинацией системы строк матрицы В, следовательно, ранг системы строк матрицы С не может превышать ранга системы строк матрицы В, и теорема доказана.

2. Ранг произведения произвольной матрицы а справа или слева на невырожденную квадратную матрицу q равен рангу матрицы а.

Доказательство. Пусть

AQ = C (**)

Из первой теоремы о ранге матрицы следует, что ранг матрицы С не выше ранга матрицы А. Если умножить обе части равенства (**) на Q^–1 справа, получится равенство

A = CQ^–1

Из той же теоремы о ранге матрицы следует, что ранг А не выше ранга С. Отсюда следует, что ранги матриц А и С совпадают.

Теорема Кронекера-Капелли.

Рассмотрим систему уравнений

(3)

Обозначим через А матрицу её коэффициентов и через А^* её расширенную матрицу.

Теорема. Для того, чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы её коэффициентов равнялся рангу расширенной матрицы.

Доказательство. Пусть система (3) совместна. Тогда существует набор чисел , который будет решением системы. Если подставить этот набор чисел в систему, то получится выражение столбца свободных членов в виде линейной комбинации столбцов коэффициентов. Всякий другой столбец расширенной матрицы системы очевидно тоже можно представить в виде линейной комбинации столбцов матрицы коэффициентов. Очевидно, что и любой столбец матрицы коэффициентов системы можно представить в виде линейной комбинации столбцов расширенной матрицы. Таким образом, системы столбцов матрицы коэффициентов и столбцов расширенной матрицы эквивалентны. Это означает, что их ранги равны.

Пусть теперь ранги матрицы коэффициентов системы и расширенной матрицы системы (3) равны. Тогда некоторая максимальная линейно независимая система столбцов матрицы коэффициентов будет также максимальной линейно независимой системой столбцов расширенной матрицы. Отсюда следует, что столбец свободных членов может быть представлен в виде линейной комбинации столбцов матрицы коэффициентов. Набор коэффициентов этой линейной комбинации и будет решением рассматриваемой системы уравнений.

Системы линейных однородных уравнений.

Рассмотрим однородную систему т уравнений с п неизвестными

(4)

Эта система всегда совместна. Если матрица коэффициентов системы (4) имеет ранг r, равный п, то система имеет единственное решение, которое является нулевым. Если r < п, то система имеет решения, отличные от нулевого. Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет только нулевое решение, если определитель матрицы коэффициентов системы отличен от нуля. Если этот определитель равен нулю, то такая система имеет бесконечное множество решений.

Если некоторый вектор z^T = (z₁ z₂,,z_n) является решением системы (4), то при любом числе k вектор kz^T = (kz₁, kz₂,, kz_n) также будет решением этой системы. Если несколько различных векторов являются решениями системы (4), то любая их линейная комбинация также будет решением этой системы. Очевидно, что система векторов, являющихся решениями системы (4), должна содержать максимальную линейно независимую систему, содержащую не более п векторов. Всякое решение системы уравнений (4) будет представлять собой линейную комбинацию векторов выбранной максимальной линейно независимой системы. Всякую максимальную линейно независимую систему решений однородной системы уравнений будем называть фундаментальной системой решений. п-мерный вектор тогда и только тогда является решением системы (4), если он является линейной комбинацией векторов данной фундаментальной системы.

Система (4) может обладать многими различными фундаментальными системами решений. Все эти системы эквивалентны между собой, и поэтому состоят из одного и того же числа решений.

Теорема. Если ранг r матрицы коэффициентов системы (4) меньше числа уравнений п, то всякая фундаментальная система решений системы уравнений (4) состоит из п – r решений.

Доказательство. Рассмотрим произвольный, отличный от нуля определитель порядка п – r:

Придадим свободным неизвестным системы значения из i-й строки определителя: x_r+1 = c_i,r+1, x_r+2 = c_i,r+2,, x_п = c_i,п. Тогда однозначно определятся значения базисных переменных х₁, х₂, , х_r. Таким образом, можно получить определённое решение системы (4) Перебрав все строки определителя d, получим систему векторов

, (5)

которая является фундаментальной системой решений системы (4). Чтобы это доказать, нужно, во-первых, доказать, что система (5) линейно независима, и во-вторых, что любое решение системы (4) можно представить в виде линейной комбинации системы векторов (5). Первое очевидно, так как матрица, составленная из векторов системы (5), имеет отличный от нуля минор порядка n  r, равный d.

Чтобы доказать второе, предположим, что вектор

(6)

является некоторым решением системы (4). Обозначим i-ю строку определителя d и . Система векторов

очевидно, линейно зависима (число векторов превышает размерность векторов), и существует набор чисел , что

(7)

Теперь рассмотрим п-мерный вектор

Вектор  является решением системы (4). Из (7) следует, что в решении  все свободные переменные равны нулю. Однако, при всех свободных неизвестных, равных нулю, система (4) может иметь только нулевое решение, то есть  = 0, откуда следует, что

,

и теорема доказана.

Рассмотрим систему

(8)

Очевидна справедливость двух выводов:

1. Сумма любого решения системы (4) с любым решением системы (8) будет решением системы (8).

2. Разность двух любых решений системы (8) является решением системы (4).

Отсюда следует теорема: любое решение системы (8) можно получить в виде суммы любого другого решения этой системы и линейной комбинации решений системы (4).