- •по высшей математике
- •заочной формы обучения
- •Контрольная работа № 9 Ряды
- •Контрольная работа № 10 Задачи с экономическим содержанием
- •ЛИТЕРАТУРА
- •Введение
- •Блок обучающих задач с решениями
- •Блок обучающих задач с решениями
- •БЛОК ОБУЧАЮЩИХ ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ
- •Блок обучающих задач с решениями
- •СОСТАВЛЯЕМ И РЕШАЕМ СИСТЕМУ
- •Блок обучающих задач с решениями
- •Краткие теоретические сведения
- •а эластичностью Ey(z) по переменной y величина
- •ЛИТЕРАТУРА
- •УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
f ′′(α0 ) = − |
|
136 |
|
+ |
164 |
|
= |
|
28 |
|
> 0 , т.е. α0 - точка минимума. |
|
||||||||||||||||||||||||
cosα |
0 |
cosα0 |
cosα0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Найдем теперь |
f (α0 ) - |
максимально |
возможную длину сплавляемого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
бревна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
f |
(α0 ) = |
|
|
|
|
|
+ |
|
, если tgα0 |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
cosα0 |
|
sinα0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
sinα |
0 |
|
|
|
= |
3 |
|
|
|
sin |
2 |
α0 |
|
= |
|
9 |
|
|
= |
3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
sinα0 |
5 |
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
− |
sin |
|
2 |
α |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
α0 |
|
16 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −sin |
|
|
|
|
|
|
|
= |
4 |
. |
|
||||||||||
|
|
α |
(0; |
π |
2) |
|
|
|
|
|
|
α (0; |
π |
2) |
|
|
|
|
cosα0 |
5 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
f (α0 ) = |
|
64 |
+ |
27 |
=125. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ:наибольшая |
|
|
|
|
длина |
|
|
|
|
|
|
бревна |
|
|
125 |
м. |
Контрольная работа № 5
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Литература: [2], гл.8; [3], гл. 11; [5], ч.2, гл. 6; [11], гл.7.
При выполнении контрольной работы №5 студент должен овладеть основными математическими понятиями, приемами и методами, перечисленными ниже.
Основные понятия: функция нескольких переменных; частные производные первого и более высоких порядков; дифференциал; градиент; производная по направлению вектора; касательная плоскость и нормаль к поверхности; экстремумы функции нескольких переменных.
Основные приемы и методы:
-правило нахождения частных производных;
-использование дифференциала для приближенного вычисления значения функции;
-схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных в ограниченной замкнутой области;
-метод наименьших квадратов построения эмпирических формул.
Блок обучающих задач с решениями Задача 5.1. Найти область определения функции
z = 1 − x2 |
− y2 |
+ ln cos x и изобразить эту область. |
4 |
9 |
|
Решение. Функция z определена в тех точках (x, y) R2 , для которых
1 − |
x2 |
|
− |
y2 |
|
|
≥ 0 и |
cos x > 0 , т.е. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x2 |
|
y |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ 0, |
|
|
|
|
|
+ |
|
≤1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
9 |
|
|
|
|||||||
4 |
|
9 |
|
|
|
|
|
π |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
cos |
> 0 |
|
|
|
− |
π |
+ 2πn < x < |
+ 2πn, n Z. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изобразим эту область. Первое неравенство системы определяет на плоскости
Оху внутреннюю часть эллипса |
x2 |
+ |
y2 |
=1 вместе с границей (эллипсом). |
4 |
|
|||
|
9 |
|
Второе неравенство – бесконечное множество вертикальных полос (без ограничивающих их прямых) ширины π . Пересечение этих множеств и дает
область определения D заданной функции:
Задача 5.2. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная
функция u = f (x, y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂2u |
+ |
∂2u |
= 0 |
, |
u = ln |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
∂y2 |
+ y2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Найдем частные производные второго порядка |
∂2u |
и |
∂2u |
. |
|||||||||
∂x2 |
∂y2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для этого сначала вычислим частные производные первого порядка |
∂u |
и |
∂u . |
|
|||||||||
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
При отыскании |
дифференцируем функцию u, считая что у является |
||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
константой, т.е. постоянной величиной. Сначала воспользовавшись свойствами логарифма, упростим функцию u(x, y). Получим
u = ln |
1 |
|
2 |
+ y |
2 |
|
− 1 |
1 |
|
2 |
+ y |
2 |
|
|
= ln x |
|
|
|
2 = − |
|
ln x |
|
|
. |
|||
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
/ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
ln x |
|
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ y |
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x2 |
|
+ y2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
2 + y2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= − |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
= |
|
∂ ∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
= − |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Вычислим |
|
|
∂x2 |
|
|
∂x , |
|
т.е. |
|
дифференцируем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
∂x |
x2 + y2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменной х; при этом у считается константой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂ |
2u |
= − |
|
|
|
|
x |
|
|
/ |
= − |
1 |
(x2 + y2 ) − x 2x |
|
= − |
|
|
|
y2 − x |
2 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∂x2 |
|
x2 + y2 x |
|
|
|
|
|
|
(x2 |
|
+ y2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
x2 − y2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(x2 + y |
2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Аналогично находим |
∂u |
|
|
и |
|
|
∂2u |
|
. Здесь уже переменная |
х |
|
|
|
|
будет считаться |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
константой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
ln x |
|
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 |
|
|
2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∂ |
2 |
u |
|
|
|
∂ |
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
1 |
(x |
2 |
|
+ y |
2 |
) − y 2 y |
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
− x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
∂y |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
+ y |
) |
|
|
|
|
|
|
(x |
|
+ y |
) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теперь подставим найденные частные производные |
|
|
∂ |
2u |
и |
|
|
|
∂2u |
в заданное |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
∂y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∂2u |
|
+ |
|
∂2u |
= |
|
|
|
x2 − y2 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
y2 − x2 |
|
|
= 0 - верно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x2 |
|
|
|
∂y |
2 |
|
(x2 + y2 )2 |
|
(x2 |
+ y2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Ответ: функция u = ln |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
удовлетворяет указанному уравнению. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
Задача 5.3. Вычислить приближенное значение функции с помощью дифференциала:
1,003 (1,998)2 (3,005)3 .
Решение. |
Введем в рассмотрение функцию |
f (x, y, z) = x y2 z3 . |
|
||
Для нахождения приближенного значения функции f |
в точке |
|
|
||
(1,003; 1,998; |
3,005) воспользуемся формулой |
|
|
|
|
f (x1, y1, z1 ) ≈ f (x0 , y0 , z0 ) + df (x0 , y0 , z0 ) , |
|
|
|
||
где дифференциал функции f : df (x0 , y0 , z0 ) = f x′(x0 , y0 , z0 ) dx + |
|
||||
+ f y′(x0 , y0 , z0 ) dy + f z′(x0 , y0 , z0 ) dz ; |
|
|
|
|
|
dx = x1 − x0 , |
dy = y1 − y0 , dz = z1 − z0 ; |
f x′, |
f y′, f z′ |
- частные |
|
производные первого порядка, вычисленные в точке (x0 , y0 , z0 ) ; |
(x0 , y0 , z0 ) |
- |
|||
точка, достаточно близкая к точке (x1, y1, z1) , в которой значение функции |
f |
||||
вычисляется легко. |
|
|
|
|
Тогда формулу для приближенного вычисления можно переписать в следующем виде:
f (x1, y1, z1 ) ≈ f (x0 , y0 , z0 ) + f x′(x0 , y0 , z0 ) (x1 − x0 ) + f y′(x0 , y0 , z0 ) ×
×( y1 − y0 ) + f z′(x0 , y0 , z0 ) (z1 − z0 ) .
Обозначим x1 =1,003, y1 =1,998, z1 = 3,005 ;
x0 =1, y0 = 2, z0 = 3.
Вычислим значения всех величин, входящих в формулу:
f (x0 , y0 , z0 ) =1 22 33 =108;
f x′ = y 2 z3 , |
f x′(1, |
2, |
3) = 22 33 =108 ; |
|||
f y′ |
= 2xyz3 , |
f y′(1, |
2, |
3) = 2 |
1 2 33 =108 ; |
|
f z′ |
= 3 xy2 z 2 , |
f z′(1, |
2, 3) |
= 3 1 22 33 =108. |
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
f (1,003; 1,998; |
3,005) ≈108 +108 0,003 +108 (−0,002) +108 0,005 = |
=108,648.
Ответ: 1,003 (1,998)2 (3,005)3 ≈108,648 .
Задача 5.4. Написать:
1) |
уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности S, заданной |
уравнением z = f (x, y) , в точке (x0 , y0 , f (x0 , y0 )); |
|
2) |
grad z в точке M 0 (x0 , y0 ) ; |
3) |
производную функции z = f (x, y) в точке M 0 (x0 , y0 ) по |
направлению вектора a ;
z = arctg |
y |
|
M 0 (−1, |
1) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
, |
|
|
|
a |
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Решение. |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1) уравнение касательной плоскости имеет вид |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z − z0 = f x′(x0 , y0 ) (x − x0 ) + f y′(x0 , y0 ) ( y − y0 ), |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
где z0 = f (x0 , y0 ). |
|
y ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
− y |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вычисляем f x′(x, y) = (arctg |
|
|
)x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
|
x |
1 + (xy |
)2 |
|
x2 |
x2 + y2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
f x′(−1, 1) = − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f y′(x, y) = (arctg |
y |
)′y = |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
f y′(−1, |
1) = − |
1 |
. |
|
||||||||||||||||
|
1+ ( |
y |
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
z0 = f (−1, 1) = arctg(−1) = − |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
Тогда уравнение касательной плоскости: z + |
= − |
(x +1) − |
( y −1) или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + y + 2z + π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нормаль к поверхности – это прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). Ее уравнение имеет вид
|
x − x0 |
|
= |
|
|
|
y − y0 |
|
= |
z − f (x0 , y0 ) |
. |
|
|||||||||||
|
f x′(x0 , y0 ) |
|
|
f y′(x0 , y0 ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
||||||||||||
Тогда можем записать |
|
x +1 |
= |
y −1 |
= |
z + π4 |
или, что равносильно, |
||||||||||||||||
|
|
− |
|
|
−1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x +1 = y −1 = |
|
|
z + |
|
- уравнение искомой нормали. |
|||||||||||||||||
|
2 |
4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2) grad |
z – это вектор с координатами (f x′, f y′ ). |
||||||||||||||||||||
Тогда grad |
z(M 0 ) = (f x′(x0 , y0 ), |
|
f y′(x0 , y0 ))= (f x′(−1, 1); f y′(−1, 1))= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
− |
|
,− |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3) |
Производная функции z = f (x, y) в точке M 0 (x0 , y0 ) по направлению |
вектора a - это число, которое вычисляется по формуле