- •по высшей математике
- •заочной формы обучения
- •Контрольная работа № 9 Ряды
- •Контрольная работа № 10 Задачи с экономическим содержанием
- •ЛИТЕРАТУРА
- •Введение
- •Блок обучающих задач с решениями
- •Блок обучающих задач с решениями
- •БЛОК ОБУЧАЮЩИХ ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ
- •Блок обучающих задач с решениями
- •СОСТАВЛЯЕМ И РЕШАЕМ СИСТЕМУ
- •Блок обучающих задач с решениями
- •Краткие теоретические сведения
- •а эластичностью Ey(z) по переменной y величина
- •ЛИТЕРАТУРА
- •УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
Контрольная работа №1
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Литература: [1], гл.1, §1-3, гл. 2,3, §1-3; [2], гл.1, §1-3; [5], ч. I, §1.1-1.5; [7], гл.4,7,9; [9], гл.3.
Целью выполнения контрольной работы №1 является овладение основными математическими понятиями, приемами и методами, перечисленными в приведенном ниже списке.
Основные понятия: векторы; базис пространства; прямая; плоскость; плоские кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола).
Основные приемы и методы:
-действия над векторами; скалярное, векторное, смешанное произведения векторов;
-способы построения уравнений прямой на плоскости и в пространстве;
-способы составления уравнений плоскости;
-методы определения взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве.
Блок обучающих задач с решениями
Задача 1.1. Даны векторы a = 3i − 2 j + 4k , b = i + 2k , c = 7i + 6 j − k
иd = −i +3 j + k . Требуется:
1)вычислить скалярное произведение векторов 2b и −c ;
2)найти модуль векторного произведения векторов 3a и 4b;
3)проверить коллинеарность и ортогональность векторов 2c и a ;
4) |
убедиться, что векторы |
a |
, |
|
b |
, |
c |
образуют базис; |
|||||
5) |
найти координаты вектора |
|
в этом базисе. |
||||||||||
d |
|||||||||||||
Решение: |
1) Вычислим скалярное произведение векторов 2 |
b |
и − |
c |
. |
Найдем векторы 2b = 2i + 4k и −c = −7i −6 j + k . Согласно формуле
(l, m) = x1x2 + y1 y2 + z1z2 , где l(x1, y1, z1) , m(x2 , y2 , z2 ),
скалярное произведение векторов 2b и −c будет равно
(2b , −c) = 2 (−7) + 0 (−6) + 4 1 = −10.
2) Найдем модуль векторного произведения векторов 3a = (9,−6,12) и
4b = (4,0,8) .
Обозначим c1 = 3a ×4b .
Прежде всего, найдем координаты вектора c1 :
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
−6 12 |
|
|
|
|
|
|
|
9 12 |
|
|
|
|
|
|
9 −6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 = |
9 −6 12 |
= |
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
= −48 |
|
|
|
− 24 |
|
|
+ 24 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
c |
i |
j |
k |
i |
|
j |
k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
0 |
8 |
|
|
|
|
|
0 |
8 |
|
|
|
|
|
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−48)2 + (−24)2 + (24)2 = 24 6 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда длина вектора c |
1 |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Проверим коллинеарность и ортогональность векторов 2 |
|
|
|
и |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
c |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Два вектора |
l |
(x1, y1, z1) и |
|
m |
(x2 , y2 , z2 ) будут коллинеарными, если их |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x1 |
= |
y1 |
= |
|
z1 |
|
|
|
и |
|
будут |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
координаты пропорциональны, |
т.е. |
|
. |
Векторы |
l |
m |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ортогональны, если их скалярное произведение l m равно нулю, т.е.
x1x2 + y1 y2 + z1z2 = 0.
Проверим, выполняются ли эти условия для векторов 2c =14i +12 j − 2k
и a = 3i − 2 j + 4k .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что |
векторы 2 |
c |
|
|
и |
a |
неколлинеарны, т.е. a || 2c, т.к. |
||||||||||||||||||||
14 |
≠ |
12 |
≠ |
− 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Проверяем условие ортогональности: 14 3 +12 (−2) + (−2) 4 =10 ≠ 0, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
и 2 |
|
неортогональны, т.е. |
|
/ 2 |
|
. |
|||||||||||||||||||||
следовательно, |
a |
c |
a |
c |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
4) Убедимся, |
что векторы |
a |
, |
b |
, |
c |
|
образуют базис. Для этого вычислим |
определитель третьего порядка ∆, строками которого являются координаты
векторов |
|
a |
, |
b |
и |
c |
. Если он не равен нулю, то тройка |
a |
, |
|
b |
, |
c |
является базисом. |
||||||||||||||
∆ = |
|
3 |
− 2 |
4 |
|
|
= |
|
3 |
− 2 |
4 |
|
|
= (−1) (−2) |
|
1 |
2 |
|
|
= 2 (11 − 2 16) = −42, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
0 |
|
2 |
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
7 |
6 |
|
|
−1 |
|
|
|
16 |
0 |
11 |
|
|
|
|
16 |
11 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆= −42 ≠ 0, следовательно, векторы a,b, c образуют базис пространства R3 .
5)Найдем координаты вектора d в базисе a,b, c . Обозначим искомые координаты через α, β и γ , т.е.
d =α a + β b +γ c .
Тогда −i +3 j + k =α (3i − 2 j + 4k) + β (i + 2k) +γ (7i +6 j − k) .
Отсюда, собирая коэффициенты при ортах i, j и k , получаем систему трех уравнений для определения чисел α, β и γ :
|
3α + β + 7γ = −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
β + 6γ = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
− 2α + 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
4α + 2β −γ =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆β |
|
|
|
∆γ |
|
||||||||||||||||||
Решим эту систему по правилу Крамера α = |
∆α |
, |
|
|
β = |
, γ = |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∆ |
|
|
|
∆ |
∆ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где ∆- определитель системы: ∆ = |
|
− 2 |
0 |
6 |
|
|
= −42 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆α = |
|
|
|
−1 |
1 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆заменой в |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
0 |
|
6 |
- |
|
|
определитель, |
полученный |
из |
нем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в базисе ( |
|
, |
|
, |
|
), |
|
|
|||||||||||||||||||||||
первого столбца на столбец коэффициентов вектора |
d |
i |
j |
k |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∆α = −1 |
|
3 6 |
|
|
− 2 |
|
−1 7 |
|
= 63. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично составляем и вычисляем определители |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
−1 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∆β = |
|
− 2 |
|
|
3 |
|
|
6 |
|
|
= −147 и ∆γ |
= |
|
− 2 |
|
0 |
|
3 |
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда α = |
63 |
|
= − |
3 |
, |
β = |
−147 |
= |
|
7 |
, γ = |
0 |
|
= 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− 42 |
|
|
|
|
|
2 |
|
− 42 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
вектор |
|
|
|
= − |
3 |
|
|
+ |
|
7 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Итак, в базисе |
a |
b |
c |
d |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1) (2 |
|
|
, − |
|
) = −10; 2) 3a ×4b = 24 |
6 ; 3) векторы 2 |
|
и |
|
не |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: |
b |
c |
c |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
являются ни коллинеарными, |
|
ни ортогональными; |
4) |
|
, |
|
, |
|
образуют базис; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
b |
c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= − |
3 |
|
|
+ |
7 |
|
|
в базисе ( |
|
, |
|
, |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5) |
d |
|
a |
|
b |
a |
b |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Задача 1.2. Даны вершины A(2, −3) , |
B(−4, 1) , C(12, 5) треугольника |
АВС.
Требуется найти:
1)уравнение стороны АВ;
2)уравнение высоты CH и длину этой высоты;
3)уравнение медианы АМ;
4)точку N пересечения медианы АМ и высоты CH;
5)уравнение прямой, параллельной стороне АВ и проходящей через вершину С;
6)внутренний угол при вершине А и внешний угол при вершине С.
Решение: 1) Найдем уравнение стороны АВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Воспользуемся выражением |
x − x0 |
= |
y − y0 |
|
для уравнения прямой на |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
− x |
0 |
|
y − y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
M1(x1, y1 ) . |
||||||||||
плоскости, проходящей через 2 заданные точки |
|
M 0 (x0 , y0 ) и |
||||||||||||||||
Тогда уравнение стороны АВ имеет вид |
|
|
x − 2 |
= |
|
y − (−3) |
или y = − |
2 |
x − |
5 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
− 4 − 2 |
1 − (−3) |
3 |
|
3 |
||||||||||
2) Найдем уравнение высоты CH и длину CH. |
|
|
|
y − y0 = k(x − x0 ), |
где |
|||||||||||||
Уравнение высоты CH будем составлять в виде |
||||||||||||||||||
(x0 , y0 ) - координаты точки прямой (возьмем точку C(12,5)), |
k – угловой |
коэффициент прямой CH.
Так как СH – высота, то прямая CH перпендикулярна прямой АВ и,
следовательно, угловые коэффициенты этих прямых связаны соотношением
k1 k = −1.
|
|
Угловой коэффициент прямой АВ k |
|
|
= − |
2 |
, |
k = |
3 |
. Тогда уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
прямой СН имеет вид: |
y = |
3 |
(x −12) + 5 |
или |
|
y = |
|
3 |
x −13. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Найдем координаты точки Н – это точка пересечения прямых АВ и СН: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
= − |
|
|
|
|
x − |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y = |
|
x −13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда |
− |
|
3 |
x − |
|
5 |
|
= |
|
3 |
x −13, |
x = 5 |
|
3 |
, |
y = −5 |
2 |
. |
|||||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
13 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
H |
5 |
|
|
|
,−5 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда CH = |
|
5 |
|
3 |
− |
2 |
|
2 |
−5 |
|
2 |
= |
4 |
1573 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
13 |
12 |
+ −5 |
13 |
|
|
|
13 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Найдем уравнение медианы АМ.
ТОЧКА |
|
|
|
М |
|
– |
|
СЕРЕДИНА ОТРЕЗКА |
|
ВС, |
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, |
||||||||
|
− 4 |
+ |
12 |
|
1 +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
M |
2 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
= (4,3). |
ТОГДА УРАВНЕНИЕ |
АМ |
ИМЕЕТ |
ВИД: |
||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x − 2 |
= |
y − (−3) |
|
ИЛИ y = 3x −9 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 − (−3) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4) |
Найдем точку N пересечения медианы АМ и высоты СН: |
|
|||||||||||||||||
|
y = 3x −9, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
= |
|
|
|
x −13. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3x −9 = 3 x −13 |
. Тогда x = −2 2 |
, |
y = −17 , |
N(−2 2 , |
−17). |
||||||||
|
Отсюда |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
3 |
|
5) Составим уравнение прямой, параллельной стороне АВ и проходящей через вершину С.
Направляющим вектором для искомой прямой является вектор AB(−6, 4).
Тогда ее уравнение имеет вид |
x −12 |
= |
y −5 |
или |
y = − 2 x +13. |
||||
− 6 |
4 |
||||||||
|
|
|
|
3 |
|||||
Здесь мы воспользовались формулой |
x − x0 |
= |
y − y0 |
, где M 0 (x0 , y0 ) – |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
m |
точка, принадлежащая прямой, a(l, m) – направляющий вектор прямой.
6) Найдем внутренний угол при вершине А и внешний угол при вершине С. Внутренний угол при вершине А определим как угол между векторами
AB(−6, 4) и AC(10, 8) .
cos BAC = AB AC = |
|
|
−6 10 + 4 8 |
= − |
28 |
= − |
7 . |
||||||||||||
|
|
AB AC |
(−6)2 + 42 102 |
+82 |
4 |
13 41 |
|
533 |
|||||||||||
Внешний угол при вершине С будем рассматривать как угол между |
|||||||||||||||||||
векторами |
|
AC |
(10, 8) и |
CB |
(−16, |
|
−4) . |
|
|
|
|
|
|
||||||
cos Cвнеш. = |
AC CB = |
|
|
10 (−16) +8 (−4) |
= |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
AC CB |
102 +82 |
(−16)2 + (−4)2 |
|
|
||||||||||
= − |
192 |
= − 24 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8 |
|
41 |
17 |
697 |
|
2 |
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
Ответ : 1) AB : |
y = − |
|
x − |
|
; 2) CH : y = |
x −13, |
|
|
|||||||||||
3 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
CH = 4 |
1573 ; |
|
|
3) |
AM : |
y = 3x −9 ; |
4) |
N(−2 2 , −17); |
||||||
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5) y = − |
2 |
x +13; |
6) cos BAC = − |
7 |
; |
7) cos Cвнеш. = − |
24 . |
|||||||
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
533 |
|
|
|
697 |
||
Задача |
|
1.3. |
Составить |
каноническое |
уравнение |
: |
1) эллипса, 2) |
|||||||
гиперболы, |
|
3) параболы по их известным из условий 1-3 параметрам (условия |
||||||||||||
приведены ниже). Через |
а и |
b обозначены большая и малая полуоси эллипса |
||||||||||||
или гиперболы, через F – фокус кривой, ε – эксцентриситет, 2с – фокусное |
||||||||||||||
расстояние; |
|
y = ±kx - уравнение асимптот гиперболы; D – директриса кривой; |
||||||||||||
А, В – точки, |
лежащие на кривой. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) A(0, |
−3), |
ε = |
7 ; |
2) k = 2 |
5 , |
2c =12; 3) D : |
y = −3. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
Решение. 1) Каноническое уравнение эллипса имеет вид
|
x2 |
+ |
y2 |
=1 |
(a > 0, b > 0). |
|
||||
|
a2 |
b2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
a2 −b2 |
|
|||
Его эксценриситет |
ε = |
c |
= |
. |
||||||
a |
a |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя данные задачи, составляем систему для определения чисел
|
02 |
+ |
(−3) |
2 |
=1, |
|
|
|
b2 = 9, |
|
|
|
|
||||
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
b2 |
= 9, |
||||||||
a2 |
|
|
|
|
|
2 |
−9 |
|
7 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
2 −b2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
a2 =16. |
||
= |
. |
|
a2 |
16 |
|
||||||||||||
|
|
a |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, искомое уравнение эллипса: |
x2 |
+ |
y |
2 |
|
=1. |
|
16 |
9 |
|
x2 |
||||
|
|
|
|
||||
2) Каноническое уравнение гиперболы |
|
имеет вид |
|||||
|
a2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2 и b2 :
− y2 =1 b2
(a > 0,b > 0) . |
Параметры |
а, |
b и с |
b |
связаны |
условием |
c2 = a2 + b2 . |
|||||||||||||
Асимптоты гиперболы: |
y = ±kx, где k = |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
По условию k = 2 |
5 , |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||
|
2c =12 . Тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
a2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 +b2 |
= 62 , |
|
|
+ |
a2 |
= 36, |
|
a |
2 |
= 20, |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
b |
|
2 |
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
= |
|
5 |
|
. |
|
|
|
b2 = |
a2 . |
|
b2 =16. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Записываем искомое уравнение гиперболы: x2 − y2 =1.
20 16
3) Каноническое уравнение параболы, директриса которой задается уравнением
y= const , имеет вид x2 = 2 py .
При этом уравнение директрисы |
D : |
y = − |
p |
; координаты фокуса F(0, |
p |
). |
|||||||||
|
2 |
||||||||||||||
По условию директриса D : |
y = −3. |
2 |
|
|
|
||||||||||
Следовательно, p = 6. |
Тогда искомое |
||||||||||||||
уравнение параболы x2 =12 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: 1) |
x2 |
+ |
y2 |
=1; |
2) |
|
x2 |
− |
y2 |
=1; |
3) x2 =12 y . |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
||||||||
16 |
9 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 1.4. |
|
Даны |
четыре |
точки |
A1 (0, −1, 1), |
A2 (3, 5, |
1) , |
A3 (1, −3, −1), A4 (1, 4, −2) . Требуется найти:
1)уравнение плоскости A1 A2 A3 ;
2)уравнение прямой, проходящей через точку A4 , перпендикулярно
плоскости A1 A2 A3 ;
3)расстояние от точки A4 до плоскости A1 A2 A3 ;
4)синус угла между прямой A1 A4 и плоскостью A1 A2 A3 ;
5)косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью
A1 A2 A3 .
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Уравнение плоскости, |
|
проходящей |
|
через |
три заданные |
точки |
||||||||||||||
|
M1 (x1, y1, z1 ) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) и |
M 3 (x3 , y3 , z3 ) , может быть записано в |
|||||||||||||||||||
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x − x1 |
y − y1 |
|
|
z − z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x2 − x1 |
y2 − y1 |
|
z2 − z1 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x3 − x1 |
y3 − y1 |
|
z3 − z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Подставим в это равенство координаты точек A1, A2 , A3 , получим |
|
|
||||||||||||||||||
|
x −0 y +1 |
z −1 |
|
|
|
x y +1 z −1 |
|
= x |
|
6 |
0 |
|
−( y +1) |
|
3 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 −0 5 +1 |
1 −1 |
|
= |
|
3 |
6 |
0 |
|
|
|
|
+ |
||||||||
|
1 −0 −3 +1 −1 −1 |
|
|
|
1 − 2 − 2 |
|
|
|
− 2 |
− 2 |
|
|
|
1 |
− 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (z −1) |
|
3 |
6 |
|
= −12x + 6( y +1) −12(z −1) = 0 |
|
|||
|
|
||||||||
2x −( y + |
|
1 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1) + 2(z −1) = 0 |
|
2x − y + 2z −3 = 0 |
– это уравнение |
|||||
плоскости A1 A2 A3 . |
проходящей через точку A4 |
|
|||||||
2) Уравнение прямой L, |
перпендикулярно |
||||||||
плоскости A1 A2 A3 , запишем в параметрическом виде: |
|
||||||||
x = x0 +lt, |
|
|
|
||||||
|
+ mt, |
|
|
|
|||||
y = y0 |
|
|
|
||||||
|
+ nt |
, |
|
|
|
|
|
||
z = z0 |
|
|
|
|
|
где (x0 , y0 , z0 ) - произвольная точка прямой, a(l, m, n) - направляющий вектор прямой, t R.
Плоскость A1 A2 A3 : |
2x − y + 2z −3 = 0. Тогда вектор нормали плоскости |
||||||||||||||
A1 A2 A3 : |
|
(2,−1,2). |
Вектор |
|
перпендикулярен плоскости A1 A2 A3 , |
|
|||||||||
n |
n |
а значит, |
|||||||||||||
будет являться направляющим вектором прямой L. Тогда прямая L: |
|
||||||||||||||
x =1 + 2t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y = 4 −t, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= −2 + 2t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) Расстояние от точки |
M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 |
||||||||||||||
определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
d = |
|
Ax0 + By0 +Cz0 + D |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
A2 + B2 |
+C 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда расстояние от точки A4 (1, |
4, −2) до плоскости A1 A2 A3 ,будет равно |
||||||||||||||
d = 2 1 −1 4 + 2 (−2) −3 |
= 9 |
= 3. |
|
|
|
||||||||||
|
|
22 + (−1)2 + 22 |
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(l, m, n) |
- направляющий вектор прямой, а |
|
(A, B,C) |
|
||||||||
|
4) Если |
a |
n |
- вектор |
нормали плоскости, то синус угла ϕ между прямой и плоскостью вычисляется по формуле
sinϕ = a n = |
Al + Bm +Cn |
. |
a n |
A2 + B2 +C 2 l 2 + m2 |
+ n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор A1 A4 |
будет являться направляющим вектором прямой |
A1 A4 . Его |
|||||||||||||||||||
координаты A1 A4 = (1, 5, −3) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вектор нормали плоскости A1 A2 A3 |
|
(2, |
−1, 2) . Тогда |
|
|||||||||||||||||
n |
|
||||||||||||||||||||
sinϕ = |
2 1 −1 5 −3 2 |
= − |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 +1 + 4 1 + 25 +9 |
35 |
|
|
|
|
|
1(0, |
0, 1) , а |
|
|||||||
5) |
|
Вектор нормали к плоскости |
Oxy |
|
|
n |
к плоскости |
||||||||||||||
A1 A2 A3 |
|
|
(2, |
−1, 2) . Длины этих векторов |
|
|
|
=1, |
|
|
|
|
|
= 3. Тогда косинус |
|||||||
|
n |
|
n1 |
|
|
n |
|
угла ψ между плоскостями Oxy и A1 A2 A3 равен |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
cosψ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
0 2 + 0 (−1) +1 2 |
= |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|||
n |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
|
n1 |
|
3 1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: 1) 2x − y + 2z −3 = 0 ; |
2) x =1 + 2t, |
|
y = 4 −t, |
z = −2 + 2t; |
|
|
|||||||||||||||||||
3) |
d = 3; |
4) |
sinϕ = − |
3 |
; |
5) |
cosψ = |
2 |
. |
||||||||||||||||
35 |
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольная работа № 2
Элементы линейной алгебры
Литература: [1], гл.V, §1-5, гл. VI; [5], ч.1, § 1.6, 1.10,
§1.15 - 1.19; [9], гл.2; [10], ч.1; [13], гл.1, § 1.3 – 1.4, гл.2, § 2.1 – 2.5.
В процессе подготовки и выполнения контрольной работы №2 студенту необходимо освоить указанные ниже математические понятия и овладеть перечисленными далее основными методами (приемами).
Основные понятия: матрицы и действия над ними, обратная матрица, определитель матрицы; система линейных уравнений (однородная и неоднородная, совместная и несовместная); собственные значения и собственные векторы матрицы; квадратичная форма и ее канонический вид; кривые второго порядка.
Основные методы и приемы:
- методы Гаусса, Крамера, обратной матрицы для решения систем линейных уравнений;