1.3 Геометрические параметры цилиндрических прямозубых колес и передач. Передаточное отношение (число) зубчатых передач.

Передаточное отношение (i) – это отношение угловых скоростей ведущего и ведомого колес.

Передаточное число (u) – представляет собой отношение числа зубьев колеса к числу зубьев шестерни. Данная величина относится только к паре зубчатых колес и всегда является положительным, больше единицы, что является частным случаем передаточного отношения.

Для редукторов (замедляющих передач) абсолютные значения передаточного отношения и передаточного числа совпадают.

Также среди параметров можно назвать число зубьев колес (z с индексом колеса), основной характеристикой размеров зубьев можно является модуль (m) отношение окружного шага к числу π (модули имеют размерность в миллиметрах). Зубчатые передачи (колеса) с модулем меньше единицы называют мелькомодульными.

Рассмотрим основные элементы зубчатых колес, которые находятся в зацеплении, в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, для описания их параметров (рис.1.2).

Рис. 1.2

Зубья по высоте снаружи ограничены окружностью выступов диаметром d_a, а изнутри – окружностью впадин диаметром d_f. Боковые поверхности полного профиля зуба очерчены эвольвентами противоположных ветвей.

Эвольвента – есть траектория произвольной точки прямой, перекатывающейся без скольжения по окружности, называемой основной. Положительная ветвь эвольвенты получается при перекатывании производящей прямой против хода часовой стрелки, отрицательная – по ходу. Эвольвента при увеличении радиуса основной окружности до бесконечности (зубчатая рейка) превращается в прямую. Часть бокового профиля зуба очерчивается по переходной кривой, которая служит плавным переходом от эвольвенты к окружности впадин. Именно наличие переходной кривой делает зуб более прочным у основания.

При зацеплении одного колеса с другим появляется начальная окружность радиусом r_w, которая представляет собой окружность зубчатого колеса, перекатывающаяся без скольжения по поверхности (окружности) второго из зацепляющихся колес. Расстояние между одноименными профилями соседних зубьев по дуге окружности есть окружной шаг (p_t). Этот параметр должен быть одинаковым у находящихся в зацеплении колес, и используя параметр шага зацепления, возможно выразить длину любой окружности колеса, для чего необходимо умножить шаг на число зубьев z:

p_tz = πd_t, (1.1)

где t – индекс соответствующей окружности, например, p_a, d_a или p_f, d_f.

Так как величина p_t выражается несоизмеримым числом (в связи с тем, что в правой части выражения находится число пи), затрудняется выбор размеров колес при их проектировании и изготовлении, и в следствие этого основным параметром принят не шаг, а отношение его к числу π. Данная величина носит название модуль зацепления (m_t):

m_t = p_t/π. |мм| (1.2)

Шаг и модуль имеют индекс той окружности, по которой они измерены. Для снижения номенклатуры и унификации режущего и контролирующего инструмента величины модулей стандартизированы. Чаще всего происходит ограничения следующими значениями модуля (в миллиметрах) 0,05; 0,06; 0,08; 0,1; 0,12; 0,15; 0,20; 0,25; 0,3; 0,5; 0,6; 0,8; 1,0; 1,25; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0.

Делительная окружность – та окружность, по которой модуль имеет расчетное стандартное значение. Диаметр ее – d, она является базовой, для определения элементов зубьев и их размеров. Шаг и модуль по делительной окружности обозначают р и m соответственно.

Диаметр делительной окружности

d = mz. (1.3)

Начальная и делительная окружности могут совпадать для наиболее распространенных неисправленных по высоте (нулевых) колес, тогда передаточное отношение для пары таких колес будет равно:

i₁₂ = ω₁/ω₂ =d_w2 / d_w1= d₂/d₁ = z₂/z₁. (1.4)

Различают также угловой шаг (центральный угол, соответствующий шагу по дуге). За время контакта одной пары зубьев колесо повернется на угол перекрытия, а для обеспечения непрерывности передачи движения от ведущего к ведомому колесу нужно чтобы до выхода из контакта данной пары зубьев в зацепление вступила очередная пара зубьев. Условие это соблюдается если угловой шаг колеса меньше угла перекрытия.

Коэффициент перекрытия зубчатой передачи (ε) – это отношение угла перекрытия к угловому шагу. Допустимым значением этого параметра считается значение ε_γ ≥ 1,2.

Головка зуба – это часть зуба высотой h_a, заключенная между окружностью выступов и делительной окружностью.

Ножка зуба – часть зуба, высотой h_f,заключенная между делительной окружностью и окружностью впадин.

Итак, основные геометрические параметры зубчатого колеса это: диаметры выступов d_a и впадин d_f, общая высота зуба h, высота головки h_a и ножки h_f, толщина зуба s и ширина впадин е между зубьями. Все они выражаются через основной параметр зубчатой передачи – модуль m по ГОСТ 9587-68.

При изучении данной темы необходимо помнить о том, что зубчатые передачи в приборостроении обычно используют для передачи значительных моментов сил не как силовые, а для получения требуемых скоростей вращения как кинематические. В связи с этим, зубчатую передачу в этом случае не рассчитывают на прочность, а модуль выбирают из стандартного ряда по конструктивным соображениям: малые модули позволяют уменьшить габариты колес и увеличить плавность передачи при сохранении габаритов за счет увеличения числа зубьев, а при заданном диаметре стоимость колес с уменьшением модуля возрастает, но повышается точность работы зубчатой пары, КПД для таких передач составляет 0,94—0,98.

Высота головки зуба исчисляется по формуле:

h_a = h_a*∙m,

где h_a* – коэффициент высоты головки, который в соответствии со стандартом равен единице, а высота головки равна модулю.

Высота ножки зуба:

h_f = (h_a* + c*)m,

где с = с*m – величина радиального зазора (рис.1.3) между зубьями колес, находящихся в зацеплении;

с* – коэффициент радиального зазора, который зависит от величины модуля: с* = 0,5 приm ≤ 0,5 мм; с* = 0,35 при 0,5 < m < 1 мм и с* = 0,25 при m ≥ 1 мм.

Высота зуба исчисляется соответственно как сумма высоты головки ножки зуба, или:

h = h_a + h_f = m(2 + c*).

Диаметры окружности выступов и впадин равны соответственно:

d_a = d + 2h_a = m(z + 2) и d_f = d – 2h_f = m(z – 2 – 2c*).

Ш

Рис.1.3

ирина зубчатого венцаb принимается равной 2—6 модулям.

Окружная толщина s зуба по делительной окружности равна:

s = p/2 = πm/2

Боковой зазор в зубчатом зацеплении устанавливается в зависимости от принятого вида сопряжения колес.

Линия зацепления – это траектория точек контакта пары зубьев во время зацепления у эвольвентных колес. Она представляет собой общую нормаль к боковым профилям зубьев. Угол зацепления α есть угол зацепления между линией зацепления и перпендикуляром к межосевому расстоянию как правило равный 20°. При изменении межосевого расстояния линия зацепления изменяет свое положение, изменяется также и угол зацепления, но передаточное отношение не нарушается.

Габариты колес тем меньше, чем меньше зубьев они имеют при одном и том же модуле. Уменьшение зубьев представляется возможным до определенного предела z_min, менее которого при изготовлении путем нарезания режущий инструмент срезает часть зуба и возникает подрезание зубьев у ножки.

Если зуб подрезан, то профиль зуба искажается, нарушается плавность зацепления, уменьшается его прочность. Минимально допустимое число z_min зубьев при угле зацепления α = 20° и коэффициенте высоты головки h_a* = 1 равно 17 (z_min = 17), а при α = 15° – z_min =30.

Иногда при изготовлении зубчатых колес применяют зубья укороченной высоты с коэффициентом высоты головки h_a* = 0,8, что позволяет получить без подреза меньшее число зубьев на шестернях (при α = 20° иh_a* = 0,8 минимально допустимое число зубьевz_min= 14).