Основы дискретной математики

Функции, отношения и множества. Основы логики, логика

высказываний, логические связки, таблицы истинности. Графы и деревья:

деревья, неориентированные графы, ориентированные графы, стратегии

обхода графов.

Раздел 2 Основы дискретной математики

Тема 1: Основы дискретной математики

План:

Множества, функции, отношения.

Основы логики.

Графы и деревья.

Множества, функции, отношения.

Теория множеств опирается на три первичных понятия:

1) множество;

2) элемент;

3) принадлежность.

Строгого определения этим понятиям не дается, описывается только их применение.

Н а рисунке 1.1 буквой А обозначено множество, элементами которого являются точки заштрихованной части плоскости, при этом точка а принадлежит множеству А ( ), точка с не принадлежит множеству А ( ).

Способы задания множеств. Множество можно задать, перечислив все его элементы: , . Порядок записи элементов множества произволен. Часто задают множество, указав его характеристическое свойство, которое для каждого элемента позволяет выяснить, принадлежит он множеству или нет.

Например,

– целый корень уравнения ,

– целое }.

В дальнейшем для известных числовых множеств будут использоваться обозначения:

 = { 1,2,3,…} – множество натуральных чисел;

Z = { …, -2,-1,0,1,2,…} – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Основные определения

Пустым множеством называется множество , не содержащее ни одного элемента, т.е. для любого элемента x выполняется .

Универсальным называется множество U всех элементов, рассматриваемых в данной задаче.

Пример. Пусть U = Z и требуется найти все решения уравнения . Множество М решений этой задачи есть пустое множество: М = .

Пусть теперь U = R. Тогда множество М решений уравнения не пусто: М = .

Будем говорить, что множество А включается во множество В , если каждый элемент множества А является элементом множества В ( говорят также, что А является подмножеством множества В). Из определения включения следуют свойства:

1. для любого множества А;

2. Если и , то ;

3.  для любого множества А;

4. U для любого множества А.

Определим понятие равенства множеств: А=В тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два включения и , т.е. каждый элемент множества А является элементом множества В и каждый элемент множества В является элементом множества А.

Диаграммы Эйлера – Венна. Эти диаграммы применяются для наглядного изображения множеств и их взаимного расположения.

Универсальное множество U изображается в виде прямоугольника, а произвольные множества – подмножества универсального – в виде кругов (рис. 1.2).

Операции над множествами. Объединением множеств А и В называется множество , состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (рис.1.3, а).

Пример. Если , то .

Пересечением множеств А и В называется множество , состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству А, и множеству В (рис. 1.3, б).

П ример. Если , то .

Разностью множеств А и В называется множество тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В (рис. 1.4, а).

Пример. ;

.

Дополнением множества А до универсального U называется множество U (рис. 1.4, б).

П ример. Если , U , то U .

Элементы множества сами могут быть множествами: ; в таком случае удобно говорить о системе множеств. Рассмотрим такие системы множеств, как булеан и разбиение множеств.

Булеаном B(Х) множества Х называется множество всех подмножеств множества Х. Например, для множества булеаном является множество B , .

Р азбиением R(Х) множества Х называется система его непустых непересекающихся подмножеств, в объединении дающая множество Х (рис.1.5).

Например, для множества можно построить разбиение R₁ , состоящее из двух элементов (они называются блоками разбиения), или разбиение R₂ – из четырех блоков; возможны и другие разбиения этого множества Х.

Основы логики

Основоположником математической логики является английский математик Джордж Буль (1815 – 1864). Он впервые высказал идеи логического истолкования теории множеств.

Рассмотрим 2^х элементное множество B, элементы которого 0 и 1. Однако они не являются числами в обычном смысле. Наиболее распространенная интерпретация двоичных переменных – это логические: “ДА – НЕТ” или “ИСТИННО – ЛОЖНО”. Например: в языках программирования вводится специальный тип переменной – логическая переменная, значения которой обозначаются TRUE и FALSE.

Таким образом, элементы множества B={0,1} будем рассматривать как формальные символы, а не числа.

Алгебра, образованная множеством B вместе со всеми возможными операциями на нем, называется алгеброй логики или Булевой алгеброй.

Булевой функцией f(x₁, x₂, … , x_n) называется функция, которая принимает два значения 0 или 1 в зависимости от переменных х_i , каждая из которых может также принимать только два значения 0 или 1.

В таблице наборы переменных расположены в определенном порядке, который совпадает с порядком возрастания наборов, рассматриваемых как двоичные числа. Этим упорядочиванием будем пользоваться и дальше.

Рассмотрим основные функции алгебры логики.

1. Логическое отрицание (инверсия) обозначается чертой над аргументом. Это функция одной переменной:

f (x) = x; 0 =1; 1=0.

2. Логическое сложение (дизъюнкция). Это функция нескольких переменных. Функция обозначается следующим образом:

f(x₁,x₂) = x₁ V x₂ V x₃…

Для двух переменных таблица истинности имеет вид:

x₁ x₂ f(x₁,x₂)

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

3. Логическое умножение (конъюнкция). Это функция нескольких переменных. Функция обозначается следующим образом:

f(x₁x₂) = x₁ /\ x₂ /\ х₃ …

Функция определяется следующей таблицей истинности для двух переменных.

x₁ x₂ f(x₁x₂)

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

4. Функция Шеффера – реализует умножение с отрицанием. Определяется для двух переменных следующей таблицей истинности. Это функция нескольких переменных:

x₁ x₂ f(x₁x₂)

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Функция имеет вид:

f(x₁x₂) = x₁x₂ = x₁ /\ x₂

5. Функция Пирса реализует логическое сложение с отрицанием. Определяется следующей таблицей истинности для двух переменных

x₁ x₂ f(x₁x₂)

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Функция имеет вид: f(x₁x₂) = x₁  x₂ = x₁  x₂

Функции дизъюнкции и конъюнкции могут быть не только функциями двух переменных. В общем случае произвольного числа аргументов.

6. Сложение по mod 2. Выполняет логическую операцию XOR. Это функция нескольких переменных и определяется следующей таблицей истинности для двух переменных:

x1	x2	Y
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 0

Функция имеет вид Y =x₁  x₂

Всякая логическая функция “n” переменных может быть задана таблицей, в левой части которой перечислены все 2ⁿ наборов значений переменных, а в правой части – значения функции на этих наборах. Например, для 3-х переменных имеем:

x1	x2	x3	f
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 0 0 1 1 0 0

Наборы (строки) х на которых функция f=1 называют единичным набором, а множество единичных наборов – единичным множеством f.

Наборы х на которых f=0, называют нулевым набором f.

Составим логическую функцию из таблицы значений. Для этого возьмем конъюнкции аргументов в той строке, где функция равна единице. Причем, если аргумент равен нулю – он берется с инверсией. Если аргумент равен единице – он берется с без инверсии. Полученные конъюнкции соединяем дизъюнкцией. Для нашего примера имеем три конъюнкции (три строки таблицы, где функция равна единице). Логическая функция имеет вид:

f = (X1 /\ X2 /\ X3) \/ (X1 /\ X2 /\ X3) \/ (X1 /\ X2 /\ X3)

Инверсия обозначается чертой над аргументом. В первой конъюнкции аргументы Х1, Х2 взяты с инверсией, так как их значения во второй строке таблицы равны нулю. Во второй конъюнкции аргументы Х2, Х3 взяты с инверсией, так как их значения в пятой строке таблицы равны нулю. В третьей конъюнкции аргумент Х2 взят с инверсией, так как его значение в шестой строке таблицы равно нулю. Полученные конъюнкции объединены операциями дизъюнкции.