Контрольная работа № 2 по векторной алгебре, аналитической геометрии в пространстве и пределам
Вариант I
1.
Даны три точки
;
и
.
Найти: 1) длину вектора
;
2) скалярное произведение
;
3) векторное произведение
.
2.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку
и параллельной плоскости
.
Найти угол между этой плоскостью и
плоскостью
.
3.
В треугольнике
с вершинами
,
и
через
вершину
провести прямую, параллельную
противоположной стороне.
4.
Доказать параллельность прямой
и плоскости
.
5. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Вариант 2
1.
Даны три точки
,
и
.
Найти: 1) длину вектора
;
2) скалярное произведение
;
3) векторное произведение .
2.
Составить уравнение плоскости, отсекающей
от оси
отрезок
и перпендикулярной вектору
.
Проверить будет ли эта плоскость
перпендикулярна плоскости
.
3.
Найти угол между прямыми
и
4.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно плоскости
.
5. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Вариант 3
1.
Даны три точки
,
и
.
Найти:
1)
скалярное произведение
;
2) векторное произведение
;
3) площадь параллелограмма, построенного
на векторах
и
.
2.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку
параллельно двум векторам
и
.
3.
Составить уравнения прямой, проходящей
через точку
параллельно прямой
4.
При каких значениях
и
прямая
перпендикулярна плоскости
.
5. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Вариант 4
1.
Даны три точки
,
и
.
Найти:
1) скалярное произведение ; 2) косинус угла между векторами и ; 3) векторное произведение .
2.
Определить, при каком значении
перпендикулярны плоскости
и
.
Составить уравнение плоскости,
параллельной второй из заданных
плоскостей и проходящей через точку
.
3.
Доказать перпендикулярность прямой
и прямой, проходящей через точки
и
.
4.
Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку
перпендикулярно прямой
5. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Вариант 5
1.
Даны три точки
,
и
.
Найти:
1) скалярное произведение ; 2) векторное произведение ; 3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
2.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку
параллельно плоскости
.
Найти угол, образованный этой плоскостью
и плоскостью
.
3.
Найти значения
и
,
при которых прямая
параллельна прямой
4.
Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку
перпендикулярно прямой
5. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Вариант 6
1.
Даны три точки
,
и
.
Найти: 1) угол между векторами
и
;
2) векторное произведение
;
3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
2.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки
и
и параллельной вектору
.
3.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку
параллельно прямой
.
4.
Найти значения
и
,
при которых прямая
перпендикулярна плоскости
.
5. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Вариант 7
1.
Даны три точки
,
и
.
Найти:
1) скалярное произведение ; 2) угол между векторами и ; 3) векторное произведение .
2.
Составить уравнение плоскости,
проходящей через три данные точки
,
и
.
3.
Даны вершины четырехугольника
,
,
и
.
Составить уравнения диагоналей
и
.
Доказать их перпендикулярность.
4.
Найти угол между прямой
и плоскостью
.
5. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Вариант 8
1.
Даны три точки
,
и
.
Найти: 1) скалярное произведение
;
2) векторное произведение
;
3) площадь параллелограмма, построенного
на векторах
и
.
2.
Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку
перпендикулярно вектору
.
Найти угол между этой плоскостью и
плоскостью
.
3.
Составить канонические уравнения
прямой
4.
При каких значениях
прямая
параллельна плоскости
?
5. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Вариант 9
1.
Даны три точки
,
и
.
Найти: 1) скалярное произведение
;
2) векторное произведение
;
3) площадь параллелограмма, построенного
на векторах
и
.
2.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку
,
если прямая, соединяющая точку
и точку
,
перпендикулярна плоскости.
3.
Найти
угол между прямыми
и
4.
Составить уравнение плоскости, отсекающей
на оси
отрезок
и перпендикулярной прямой
5. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Вариант 10
1.
Даны три точки
,
и
.
Найти:
1)
скалярное произведение
;
2) векторное произведение
;
3) площадь параллелограмма, построенного
на векторах
и
.
2.
Найти угол между плоскостями
и
.
Определить, при каком значении
вторая плоскость перпендикулярна
плоскости
.
3.
Даны вершины треугольника
,
и
.
Составить параметрические уравнения
прямой, проходящей через вершину
,
параллельно стороне
.
4.
Найти угол между прямой
и плоскостью
.
5. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.