[Править] История

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Так же, волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.^[1]

[Править] Определение

Пусть и , где , — два конечных множества.

Назовём матрицей размера (читается m на n) с элементами из некоторого кольца или поля отображение вида

.

Если индекс i пробегает множество M, а j пробегает множество N, то элемент A(i,j) оказывается элементом матрицы, находящемся на пересечении i-той строки и j-ого столбца:

• i-ая строка матрицы состоит из элементов вида A(i,j), где j пробегает всё множество N;

• j-ый столбец матрицы состоит из элементов вида A(i,j), где i пробегает всё множество M.

Таким образом, матрица размера состоит в точности из

• m строк (по n элементов в каждом)

• и n столбцов (по m элементов в каждом).

В соответствии с этим

• каждую строку матрицы можно интерпретировать как вектор в n-мерном координатном пространстве ;

• каждый столбец матрицы — как вектор в m-мерном координатном пространстве .

Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве имеющим размерность mn. Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); то что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.

Если у матрицы количество строк m совпадает с количеством столбцов n, то такая матрица называется квадратной, а число m = n называется размером квадратной матрицы или её порядком.

[Править] Обозначения

Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть

,

тогда A — матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля вида a_ij = A(i,j), где

• первый индекс означает индекс строки: ;

• второй индекс означает индекс столбца: ;

таким образом, a_ij — элемент матрицы A, находящийся на пересечении i-той строки и j-того столбца. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера :

или просто:

A = (a_ij),

если нужно просто указать обозначение для элементов матрицы.

Иногда, вместо a_ij, пишут a_i,j, чтобы отделить индексы друг от друга и избежать смешения с произведением двух чисел.

Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида

Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями "||…||").

Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения:

 — это i-тая строка матрицы A,

а

 — это j-тый столбец матрицы A.

Таким образом, матрица обладает свойственным представлением — по столбцам:

и по строкам:

.

Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов.

[править] Транспонированная матрица

С каждой матрицей A = (a_ij) размера связана матрица B = (b_ij) размера вида

Такая матрица называется транспонированной матрицей для A и обозначается так A^T. Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица A = (a_ij) размера при этом преобразовании станет матрицей размерностью .

[править] Вектор-строка и вектор-столбец

Матрицы размера и являются элементами пространств и соответственно:

• матрица размера называется вектор-столбцом и имеет специальное обозначение:

• матрица размера называется вектор-строкой и имеет специальное обозначение:

[править] Операции над матрицами

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

Сложение матриц

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .

Комплексное сопряжение

Если элементами матрицы A = (a_ij) являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна . Здесь  — число, комплексно сопряжённое к a.

Транспонирование и эрмитово сопряжение

Транспонирование уже обсуждалось выше: если A = (a_ij), то A^T = (a_ji). Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: . С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно.

Взятие определителя или перманента

Основная статья: Определитель

Основная статья: Перманент

[править] Связанные понятия

[править] Линейные комбинации

В векторном пространстве линейной комбинацией векторов называется вектор

где  — коэффициенты разложения:

• если все коэффициенты равны нулю, то такая комбинация называется тривиальной,

• если же хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то такая комбинация называется нетривиальной.

Это позволяет описать произведение C = AB матриц A и B терминах линейных комбинаций:

• столбцы матрицы C — это линейные комбинации столбцов матрицы A с коэффициентами, взятыми из матрицы B;

• строки матрицы C — это линейные комбинации строк матрицы B с коэффициентами, взятыми из матрицы A.