Формулировка математической задачи оптимизации

Объединяя результаты предыдущих этапов построения математической модели, ее записывают в виде математической задачи оптимизации, включающей построенную целевую функцию и найденные ограничения на управляемые переменные. В достаточно общем виде математическую задачу оптимизации можно сформулировать следующим образом: минимизировать (максимизировать) целевую функцию с учетом ограничений на управляемые переменные.

Под минимизацией (максимизацией) функции переменных на заданном множестве - мерного векторного пространства понимается определение хотя бы одной из точек минимума (максимума) этой функции на множестве , а также, если это необходимо, и минимального (максимального) на значения .

При записи математических задач оптимизации в общем виде обычно используется следующая символика:

, ,

где - целевая функция, а - допустимое множество, заданное ограничениями на управляемые переменные.

Если множество управляемых параметров является подмножеством конечномерного пространства, то говорят о конечномерной задаче оптимизации в отличие от бесконечномерных задач, которые являются предметом рассмотрения вариационного исчисления и оптимального управления.

Если целевая функция единственная, то задачу конечномерной оптимизации называют задачей математического программирования, если же критерием оптимальности является требование достижения экстремального значения несколькими функциями управляемых параметров – задачей многокритериальной оптимизации.

Если целевая функция и ограничения задачи математического программирования являются линейными относительно управляющих параметров, то говорят о задаче линейного программирования. При нелинейной зависимости целевой функции или ограничений от управляемых параметров говорят о задаче нелинейного программирования.

Если при линейных ограничениях минимизируемая целевая функция является квадратичной формой, то говорят о задаче квадратичного программирования.

В случае, когда целевая функция является отношением двух линейных функций, а ограничения линейны, имеем задачу дробно-линейного программирования.

Задачи оптимизации, в которых необходимо найти наименьшее значение выпуклой целевой функции на выпуклом множестве, называют задачами выпуклого программирования.

Если множество допустимых управляющих параметров оказывается конечным множеством, то мы имеем задачу дискретного программирования. А если к тому же координаты этих точек – целые числа, то говорят о задаче целочисленного программирования.

Наименование перечисленных задач – «задачи программирования» – связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий.

Задачи математического программирования часто возникают в экономике, при планировании производственных процессов и количественной оценки альтернатив, связанных с принятием управленческих решений. Постановка этих задач обычно основана на анализе и сопоставлении расходуемых ресурсов и полученного результата. Такой подход принято называть методом «затраты - эффективность». Рассмотрим несколько примеров такого подхода.