- •Лаболаторная работа № 7 решение дифференциальных уравнений и систем Краткие теоретические сведения
- •Рекомендации по использованию
- •Задание 1 Решение дифференциальных уравнений первого порядка
- •Пример 1
- •Решение
- •Задание 2 Решение систем дифференциальных уравнений первого порядка
- •Пример 2
- •Р ешение Задание 3 Решение дифференциальных уравнений второго порядка
- •Пример 3
- •Решение
Лаболаторная работа № 7 решение дифференциальных уравнений и систем Краткие теоретические сведения
Для решения дифференциальных однородных дифференциальных уравнений (ОДУ) – с начальными условиями пакет Mathcad имеет ряд встроенных функций:
rkfixed – функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;
Rkadapt – функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта с переменным шагом;
Bulstoer –функция решения ОДУ и систем ОДУ методом – метод Булирша–Штёра если заранее известно, что решением является гладкая функция.
Рассмотрим подробнее каждую из этих функций:
rkfixed(y, x1, x2, p, D) – возвращает матрицу первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – решения, первые n-1 производные. Функция возвращает матрицу, состоящую из 1+n строк. Аргументы функции: y – вектор начальных условий (k элементов); x1 и x2 – границы интервала, на котором ищется решение ОДУ; p – число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение; D – вектор, состоящий из k элементов, который содержит первые производные искомой функции.
Rkadapt(y, x1, x2, p, D) – назначение параметров то же, что и для функции rkfixed. Существует несколько модифицированная функция rkadapt(y,x1,x2, acc,p,D,k,s) – где добавлены параметры k – максимальное число промежуточных точек решения; s – минимально допустимый интервал между точками; acc – погрешность решения (рекомендуется порядка 0.001).
Bulstoer(y, x1, x2, p, D) – назначение параметров то же, что и для функции rkfixed.
Рекомендации по использованию
Обычно функция Rkadapt благодаря автоматическому изменению шага решения дает более точный результат, но по скорости вычислений она проигрывает функции rkfixed, хотя если решение меняется медленно, она может привести к заметному уменьшению числа вычислений. Поэтому функция Rkadapt наиболее пригодна для решения ОДУ дающих медленно меняющееся решения.
Задание 1 Решение дифференциальных уравнений первого порядка
В соответствии с вариантом, решить дифференциальное уравнение первого порядка, выполнить графическую интерпретацию результатов. Начальное, конечное значения изменения аргумента и количество точек для поиска решения приведены в таблице.
№ |
Вид уравнения |
Начальные условия |
|
|
|
1. |
|
|
0 |
2 |
500 |
2. |
|
|
3 |
6 |
1000 |
3. |
|
|
0 |
0,99 |
500 |
4. |
|
|
1 |
6 |
1000 |
5. |
|
|
0 |
1 |
600 |
6. |
|
|
0 |
2 |
500 |
7. |
|
|
1 |
2 |
300 |
8. |
|
|
0 |
2 |
800 |
9. |
|
|
1 |
5 |
900 |
10. |
|
|
2 |
5 |
1000 |
11. |
|
|
0 |
0.4 |
1000 |
12. |
|
|
0 |
5 |
1000 |
13. |
|
|
1 |
3 |
1100 |
14. |
|
|
|
|
|
15. |
|
|
е |
5 |
1200 |
16. |
|
|
0 |
5 |
1500 |
17. |
|
|
1 |
4 |
1100 |
18. |
|
|
0 |
7 |
2600 |
19. |
|
|
0 |
0,5 |
1100 |
20. |
|
|
0 |
6 |
2000 |
21. |
|
|
|
|
2000 |
22. |
|
|
1 |
3 |
1500 |
23. |
|
|
|
4 |
1200 |
24. |
|
|
0 |
0,99 |
1300 |
25. |
|
|
1 |
3 |
2000 |
26. |
|
|
0 |
2,5 |
1200 |
27. |
|
|
0 |
0,5 |
2000 |
28. |
|
|
1 |
3 |
1100 |
29. |
|
|
0 |
3 |
1200 |
30. |
|
|
0 |
0,5 |
1300 |