11.Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

Реально во всех колебательных системах действуют силы сопротивления. При малых скоростях F_{сопр х}=-rU_x, r – коэффициент сопротивления.

По второму закону Ньютона: -kx-rU_x=ma_x; -kx-rU^’_x-ma^’’_x=0; mx^’’+rx^’+kx=0;;;, где β - коэффициент затухания.X^’’+2β^’+ω²₀x=0 – дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Решением данного ДУ является уравнение вида:

x=A₀e^-βtcos(ωt+φ₀). Чем больше коэффициент затухания, тем больше уменьшается амплитуда. ;

12.Логарифмический декремент затухания. Амплитуда, частота и фаза затухающих колебаний.

уравнение затухающих колебаний будет иметь вид (219)

Решая это уравнение, найдем следующую зависимость смещения колеблющейся точки массой m от времени t:

(220)

Здесь - основание натуральных логарифмов,A0- начальная амплитуда колебаний (при t=0).

Круг частота затухающих колебаний w опр формулой

Сравнивая формулы (221) и (203а), замечаем, что частота колебаний при наличии затуханий меньше, чем при отсутствии затухания. Когда ,w становится равной нулю, а период Т соответственно становится бесконечным. Однако в большинстве практических случаев иw мало отличается от называетсячастотой собственных или свободных, колебаний).

Величина есть амплитуда затухающего колебания в момент времени. Зависимость смещенияот времени для затухающих гармонических колебаний представлена на рис.188.

Сравнивая между собой два значения амплитуды в моменты времени , отличающиеся на один период, замечаем, что

Для данного колебательного движения. Величина (222)

Называется логарифмическим декрементом затухания и служит мерой затухания колебательного движения.

13.Резонанс и резонансная частота.

Явление нарастания амплитуды вынужденных колебаний, когда частота вынуждающей силы приближается к частоте собственных колебаний системы, носит название резонанса.

О явлении резонанса необходимо помнить при различных технических расчетах. При проектировании машин и других сооружений, подвергающихся вибрациям, необходимо исключить возможность резонанса, так как при этом даже небольшая сила, но действующая достаточно длительное время, может вызвать разрушение прочных конструкций.

- рез частота колебаний, зависит от коэф-та затухания колеб системы, т.е. от β

14.Сложение одинаково направленных гармонических колебаний с равными частотами.

Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, происходящих в одном направлении, например, вдоль оси Y (рис.184). уравнения этих колебаний будут иметь вид:( * )

Амплитуды и начальные фазы этих колебаний разные, круговая частота одна и та же, так как одинаков период. Результирующее колебание равно сумме этих колебаний, т.е.

Заменяя иих выражениями ( * ) и применяя известные тригонометрические формулы, получаем( ** )

Введем следующие обозначения:

Решая эти уравнения, можно найти А и при любых значениях,,и. Используя уравнение ( ** ) , получаемили

Следовательно, в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний одного периода получается гармоническое колебание такого же периода, происходящее в этом же направлении. Это явление носит название интерференции колебаний. Амплитуду А и начальную фазу результирующего колебания можно найти при помощи системы уравнений (213).

Поделив почленно эти два уравнения, имеем

Возведя оба уравнения системы (213) в квадрат и сложив их, получим

или

Исследуя уравнения (215), можно заметить, что амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.

Амплитуда А будет максимальна и равна сумме амплитуд А₁ и А₂ , т.е. , когда=1 , т.е. когда разность фаз равна четному числу:

(n=0,1,2…).

Аналогично получаем, что амплитуда А будет максимальна и равна разности амплитуд А₁ и А₂ , т.е. ,еслиразность фаз, складываемых колебаний равна не четному числу ,т.е.гдеn=0,1,2,3…